Interacțiunea de gradul al patrulea

Interacțiunea de gradul al patrulea (teoria phi-al patrulea, φ 4 -teoria) este o secțiune a teoriei câmpurilor cuantice , în care câmpul scalar are o autoacțiune sub forma φ 4 . Alte tipuri de interacțiuni de gradul al patrulea pot fi găsite în secțiunea privind interacțiunile cu patru fermion . Câmpul scalar liber clasic satisface ecuația Klein-Gordon . Dacă câmpul scalar este notat , interacțiunea de gradul al patrulea adaugă energia potențială a câmpului sub formă la densitatea lagrangiană . Constanta de cuplare este adimensională în spațiu -timp 4-dimensional . $\varphi$ $\varphi$ $({\lambda}/{4!})\varphi ^{4)$ $\lambda$

Acest articol folosește semnătura spațială Minkowski . $(+,-,-,-)$

Lagrangian pentru un câmp scalar real

Densitatea Lagrangianului pentru un câmp scalar real cu interacțiune de gradul patru este

{\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2} \varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.

Acest Lagrangian are simetria globală de reflexie Z 2 . $\varphi \to -\varphi$

Lagrangian pentru un câmp scalar complex

Lagrangianul pentru un câmp scalar complex poate fi justificat după cum urmează. Pentru două câmpuri scalare și Lagrangianul are forma $\varphi_{1}$ $\varphi _{2}$

{\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1} \partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\ varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\ varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},

care poate fi scris într-o formă mai concisă prin introducerea unui câmp scalar complex definit ca $\phi$

\phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),

\phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).

Exprimat în variabile noi (ale unui câmp scalar complex), lagrangianul de mai sus devine

{\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\ phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},

care este astfel echivalent cu modelul SO(2) al câmpurilor scalare reale , așa cum se poate observa prin extinderea câmpului complex în părți reale și imaginare. $\varphi _{1},\varphi _{2}$ $\phi$

Cu participarea câmpurilor reale, se poate construi un -model cu simetrie globală SO(N) dat de lagrangianul $N$ $\varphi ^{4}$

{\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda ( \varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.

Descompunerea câmpului complex în părți reale și imaginare arată că acesta este echivalent cu modelul SO(2) al câmpurilor scalare reale.

În toate modelele de mai sus , constanta de cuplare trebuie să fie pozitivă, deoarece altfel potențialul ar fi nelimitat de jos și nu ar exista un vid stabil. În plus, integrala căii Feynman , discutată mai jos, ar fi prost definită. În 4 dimensiuni, teoriile au un pol Landau . Aceasta înseamnă că fără limita de energie înaltă, renormalizarea ar face această teorie banală . $\lambda$ $\phi^4$

Integrala cale

O extindere în diagramele Feynman poate fi obținută și din integrala de cale [1] . Valorile de așteptare a vidului ordonate în timp ale polinoamelor în φ, cunoscute sub numele de funcții ale lui n -particule Green, sunt construite prin integrare peste toate câmpurile posibile, normalizate prin valoarea așteptării de vid fără câmpuri externe,

\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi}(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2 }\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4 }\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)))}.

Toate aceste funcții ale lui Green sunt obținute prin extinderea exponentului din J ( x )φ( x ) într-o funcție generatoare

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \ _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z [0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1 } )\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .

Rotirea fitilului stabilește trecerea la timpul imaginar. Apoi schimbarea semnăturii în (++++) dă integrala mecanicii statistice a teoriei φ 4 pe spațiul euclidian cu 4 dimensiuni ,

Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2} +{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.

Acest lucru se aplică de obicei la împrăștierea particulelor cu moment fix, caz în care este util să se folosească transformata Fourier , chir dă

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\ stânga({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+ {\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi ) ^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3}) }\dreapta)}.

unde este functia delta Dirac . $\delta(x)$

Trucul standard pentru calcularea acestei integrale funcționale este să o scrieți ca un produs al factorilor exponențiali, schematic,

{\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{- (p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \ peste (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi ) ^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}) {\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right ].

Cei doi doi factori exponențiali pot fi extinși într-o serie de puteri, iar combinatoria acestei expansiuni poate fi reprezentată grafic. Integrala cu λ = 0 este considerată produsul unui număr infinit de integrale gaussiene elementare, iar rezultatul poate fi exprimat ca suma diagramelor Feynman calculate folosind următoarele reguli Feynman:

Fiecare câmp din funcția lui n - punct Euclidian Green este reprezentat de o linie exterioară pe grafic și este asociat cu impulsul p . ${\tilde {\phi ))(p)$
Fiecare vârf este reprezentat de un factor -λ .
Pentru un ordin dat λ k , toate diagramele cu n linii externe și k vârfuri sunt construite în așa fel încât impulsurile care intră în fiecare vârf să fie egale cu zero. Fiecare linie internă este reprezentată de coeficientul 1/( q 2 + m 2 ), unde q este impulsul care curge prin această linie.
Orice impulsuri nelimitate sunt integrate peste toate valorile.
Rezultatul este împărțit la factorul de simetrie, care este numărul de moduri de a rearanja liniile și vârfurile graficului fără a-i schimba conectivitatea.
Nu includeți grafice care conțin „bule de vid”, subgrafe conectate fără linii externe.

Ultima regulă ține cont de efectul împărțirii la . Regulile lui Feynman în spațiul Minkowski sunt similare, cu excepția faptului că fiecare vârf este reprezentat de , iar fiecare linie interioară este reprezentată de un factor i /( q 2 - m 2 + iε ), unde termenul ε reprezintă uşoară rotaţie Wick necesară pentru Gaussian. integrală pentru a converge în spațiul Minkowski. ${\tilde {Z}}[0]$ $-i\lambda$

Renormalizare

Integrale peste momente nemărginite, numite „contribuții în buclă”, de obicei diverg în diagramele Feynman. Acest lucru este de obicei eliminat prin renormalizare , care este o procedură pentru adăugarea de contratermeni divergenți la Lagrangian, astfel încât diagramele construite din Lagrangianul original și contratermenii să fie finite [2] . În acest caz, este necesară introducerea unei scale de renormalizare, de care devin dependente constanta de cuplare și masa. Această dependență este cea care conduce la polul Landau menționat anterior și necesită ca cutoff să conducă la integrale finite. Alternativ, dacă cutoff-ul poate merge la infinit, polul Landau poate fi evitat doar dacă constrângerea renormalizată tinde spre zero, făcând teoria trivială [3] .

Ruperea spontană a simetriei

O caracteristică interesantă poate apărea dacă m 2 devine negativ, dar λ rămâne pozitiv. În acest caz, vidul constă din două stări cu cea mai mică energie, fiecare dintre ele rupe spontan simetria globală Z 2 a teoriei originale. Acest lucru duce la stări colective interesante, cum ar fi zidurile de domeniu . Într-o teorie O (2) , vidul ar sta pe un cerc, iar alegerea unuia ar rupe spontan simetria O (2). Simetria întreruptă continuă are ca rezultat o nouă particule de boson Goldstone . Acest tip de rupere spontană a simetriei este o componentă esențială a mecanismului Higgs [4] .

Ruperea spontană a simetriilor discrete

Cel mai simplu sistem relativist în care se observă ruperea spontană a simetriei este un sistem cu un câmp scalar cu lagrangianul $\varphi$

{\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{ 2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}- V(\varphi ),

unde si $\mu ^{2}>0$

V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{ patru}.

Minimizarea potențialului asupra unei variabile duce la $\varphi$

V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2)}{\lambda} }.

Vom extinde acum câmpul în jurul acestui minim prin scriere

\varphi (x)=v+\sigma (x),

și substituind în Lagrangianul obținem

{\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{neimportant constant}}+\underbrace { {\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]}_{\text{ câmp scalar masiv))+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4))\sigma ^{4})} _{\text{auto-interacțiuni)) .

unde scalarul are acum un termen de masă pozitiv . $\sigma$

Gândirea în termeni de valori medii în vid ne permite să înțelegem ce se întâmplă cu simetria atunci când aceasta este ruptă spontan. Lagrangianul original era invariant sub simetrie . DIN $Z_{2}$ $\varphi \rightarrow -\varphi$

\langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}} {\lambda }))

ambele minime, trebuie să existe două viduri diferite: cu participarea $|\Omega _{\pm }\rangle$

\langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.

Deoarece simetria înseamnă , acest lucru ar trebui să se aplice și pentru . Cele două posibile vacue pentru teorie sunt echivalente, dar trebuie ales unul. Deși simetria pare să fi dispărut în noul Lagrangian, este încă acolo, dar acum acționează ca Aceasta este o caracteristică comună a simetriilor sparte spontan: vidul le rupe, dar în Lagrangian ele nu sunt de fapt rupte, ci pur și simplu ascunse și realizate adesea doar într-un mod neliniar [5 ] . $Z_{2}$ $\varphi \rightarrow -\varphi$ $|\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle$ $Z_{2}$ $\sigma \rightarrow -\sigma -2v.$

Soluții exacte

Există multe soluții clasice exacte ale ecuației de mișcare a teoriei, scrise sub forma

\partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0

ce se poate scrie pentru fără masă, caz ca [6] $\mu _{0}=0$

\varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\ theta ,-1),

unde este funcția eliptică Jacobi și sunt constantele de integrare, ținând cont de următoarea relație de dispersie $\,{\rm {sn\!}}$ $\,\mu ,\theta$

p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda {2}}\right)^{1 \over 2}.

Interesant, am început cu o ecuație fără masă, dar soluția exactă descrie o undă cu o lege de dispersie corespunzătoare soluției pentru un câmp masiv. Când termenul de masă nu este egal cu zero, se dovedește

\varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{ 4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{ 2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4)))){-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _ {0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}\right)

acum relația de dispersie

p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4)}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\ mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.

În fine, pentru cazul ruperii simetriei

\varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn))(p\cdot x+\theta,i),

existența și următoarea relație de dispersie este valabilă $v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}$

p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.

Aceste soluții de unde sunt interesante pentru că, în ciuda faptului că am început cu ecuația de masă cu semn greșit, relația de dispersie are semnul corect. De asemenea, funcția Jacobi nu are zerouri reale și, prin urmare, câmpul nu este niciodată zero, ci se mișcă în jurul unei valori constante date, care este aleasă inițial pentru a descrie ruperea spontană a simetriei. $\,{\rm {dn}}\!$

Dovada unicității se poate obține dacă ținem cont că soluția poate fi căutată sub forma , unde . Atunci ecuația diferențială parțială devine o ecuație diferențială obișnuită care definește funcția eliptică Jacobi cu satisfacerea relației corecte de dispersie. $\varphi =\varphi (\xi)$ $\xi =p\cdot x$ $p$

Note

↑ Ramond, Pierre. Teoria câmpului: un element modern (ediția a doua). — SUA: Westview Press, 21-12-2001. — ISBN 0-201-30450-3 . .
↑ Vezi referința anterioară, sau pentru mai multe detalii, Itzykson, Zuber. Teoria câmpului cuantic / Zuber Itzykson, Jean-Bernard Zuber. — Dover, 24.02.2006. .
↑ DJ Callaway (1988). „Urmărirea trivialității: pot exista particule scalare elementare?”. Rapoarte de fizică . 167 (5): 241-320. Cod biblic : 1988PhR ...167..241C . DOI : 10.1016/0370-1573(88)90008-7 .
↑ O descriere de bază a ruperii spontane a simetriei poate fi găsită în cele două referințe anterioare sau în majoritatea altor cărți de Teoria Câmpului Cuantic.
↑ Schwartz, Teoria câmpului cuantic și modelul standard, capitolul 28.1
↑ Marco Frasca (2011). „Soluții exacte ale ecuațiilor clasice de câmp scalar”. Jurnalul de fizică matematică neliniară . 18 (2): 291-297. arXiv : 0907.4053 . Cod biblic : 2011JNMP ...18..291F . DOI : 10.1142/S1402925111001441 .

Literatură

't Hooft, G. , „Baza conceptuală a teoriei câmpului cuantic” ( versiune online ).
Bazghandi, Mustafa (august 2019). „Simetrii Lie și soluții de similaritate ale ecuației phi-four”. Jurnalul Indian de Matematică . 61 (2): 187-197.