Ecuația Klein-Gordon

Ecuația Klein-Gordon (uneori Klein-Gordon-Fock , Klein-Fock [1] [2] , Schrödinger-Gordon [3] ) este o versiune relativistă a ecuației Schrödinger :

\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2 }}\partial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0

sau (folosind unități, unde , este operatorul d'Alembert ): $\hbar=c=1$ $\pătrat\$

(\square \ -m^{2})\psi =0

Folosit pentru a descrie particulele în mișcare rapidă care au o masă (masă în repaus). Se aplică strict la descrierea câmpurilor masive scalare (cum ar fi câmpul Higgs ). Poate fi generalizat la particule cu spin întregi și semiîntregi [4] . Printre altele, este clar că ecuația este o generalizare a ecuației de undă , potrivită pentru descrierea câmpurilor scalare și vectoriale fără masă.

Sistemele mecanice (reale sau imaginare) descrise de ecuația Klein-Gordon-Fock pot fi simple modificări ale sistemelor descrise de ecuația de undă, de exemplu:

în cazul unidimensional, este un fir greu întins care se întinde (lipit) pe o căptușeală elastică (Hooke).
un cristal izotrop macroscopic, fiecare atom al căruia, pe lângă legarea cu atomii vecini, se află și într-un potențial pătratic bine fixat în spațiu.
este mai realist, dacă vorbim despre cristale reale, să luăm în considerare modurile de vibrații transversale, în care, de exemplu, straturile învecinate de atomi vibrează în antifază: astfel de moduri (în aproximația liniară) vor respecta modul Klein- bidimensional. Ecuația Gordon-Fock în coordonate situate în planul straturilor.

O ecuație în care ultimul termen („masă”) are un semn opus celui obișnuit descrie un tahion în fizica teoretică . Această versiune a ecuației admite și o implementare mecanică simplă.

Ecuația Klein-Gordon-Fock pentru o particulă liberă (care este dată mai sus) are o soluție simplă sub formă de unde plane sinusoidale .

Setând derivatele spațiale la zero (care în mecanica cuantică corespunde impulsului zero al particulei), avem pentru ecuația obișnuită Klein-Gordon-Fock un oscilator armonic cu frecvența , care corespunde unei energii de repaus diferită de zero determinată de masa particulei. Versiunea tahionică a ecuației în acest caz este instabilă, iar soluția ei include, în cazul general, un exponent crescător la nesfârșit. $\pm mc^{2}/\hbar$ $m$

Istorie

Ecuația, numită după Oskar Klein și Walter Gordon , a fost scrisă inițial de Erwin Schrödinger înainte de a scrie ecuația non-relativistă care îi poartă acum numele. L-a abandonat (fără a-l publica) pentru că nu a putut include spinul electronului în această ecuație. Schrödinger a făcut o simplificare a ecuației și a găsit „sa” ecuație.

În 1926 , la scurt timp după publicarea ecuației Schrödinger , Fock [5] [6] a scris un articol despre generalizarea acesteia în cazul câmpurilor magnetice, unde forțele depindeau de viteză, și a derivat independent această ecuație. Atât Klein [7] (lucrarea sa a apărut ceva mai devreme, dar a ieșit din tipar după ce articolul lui Fock a fost acceptat pentru publicare), cât și Fock au folosit metoda Kaluza-Klein . Fock a introdus și o teorie gauge pentru ecuația undelor.

Lucrarea lui Gordon (începutul anului 1926) a fost dedicat efectului Compton [8] .

Concluzie

(Aici sunt folosite unitățile, unde ). $\hbar=c=1$

Ecuația Schrödinger pentru o particulă liberă se scrie după cum urmează:

{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\psi =i\partial _{t}\psi

unde este operatorul de impuls ; operatorul va fi numit, spre deosebire de Hamiltonian, simplu operator energetic. ${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i{\mathbf {\nabla }}$ ${\hat {E}}=i\partial _{t}$

Ecuația Schrödinger nu este covariantă relativistic, adică nu este de acord cu teoria relativității speciale (SRT).

Folosim relația de dispersie relativistă (energie de conectare și impuls) (din SRT ):

p^{2}+m^{2}=E^{2}

Apoi pur și simplu înlocuind operatorul de moment mecanic cuantic și operatorul energetic [9] , obținem:

((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi

care poate fi scris sub formă covariantă după cum urmează:

(\square \ -m^{2})\psi =0

unde este operatorul d'Alembert . $\square \ =\nabla ^{2}-\partial _{t}^{2}$

Rezolvarea ecuației Klein-Gordon-Fock pentru o particulă liberă

Căutați o soluție pentru ecuația Klein-Gordon-Fock pentru o particulă liberă

\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}} }\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi

poate, ca și pentru orice ecuație diferențială liniară cu coeficienți constanți, sub forma unei suprapuneri (adică orice combinație liniară, finită sau infinită) de unde plane:

{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

înlocuind fiecare astfel de undă în ecuație, obținem condiția pentru și : ${\mathbf k}$ $\omega$

-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{ 2}}}

O undă plană, după cum puteți vedea cu ușurință, descrie o stare pură cu o anumită energie și impuls (adică este o funcție proprie a operatorilor corespunzători). Energia și impulsul (adică valorile proprii ale acestor operatori), pe baza acesteia, pot fi calculate pur și simplu pentru aceasta, ca în cazul unei particule nerelativiste:

\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k}

\langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E)}|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t)}|\ psi \rangle =\hbar \omega

Raportul găsit și apoi (din nou) oferă ecuația conexiunii dintre energia și impulsul unei particule relativiste cu masă diferită de zero, cunoscută de la clasici: $k$ $\omega$

\langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2}

Mai mult, este clar că relația pentru valorile medii va fi satisfăcută nu numai pentru stările cu o anumită energie și impuls, ci și pentru oricare dintre suprapozițiile lor, adică pentru orice soluție a ecuației Klein-Gordon-Fock ( care, în special, asigură că această relaţie este satisfăcută şi în limita clasică).

Pentru particulele fără masă putem pune în ultima ecuație. Apoi obținem pentru particulele fără masă legea dispersiei (este și raportul dintre energie și impuls) sub forma: $m=0$

\langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2)

Folosind formula vitezei de grup , nu este dificil să se obțină formulele relativiste obișnuite pentru relația dintre impuls și energie cu viteza; în principiu, același rezultat poate fi obținut prin simplul calcul al comutatorului hamiltonianului cu coordonatele; dar în cazul ecuației Klein–Gordon–Fock, întâmpinăm dificultăți în scrierea hamiltonianului în mod explicit [10] (doar pătratul hamiltonianului este evident). ${\mathbf {v}}_{{gr}}=\partial \omega /\partial {\mathbf {k}}\$

Note

↑ Demkov Yu. N. Dezvoltarea teoriei coliziunilor electron-atomi la Universitatea din Leningrad Copie de arhivă din 17 mai 2014 la Wayback Machine .
↑ Faddeev L. D. New life of complete integrability // Phys. - 2013. - Volumul 183. - Nr. 5. - P. 490.
↑ G. Wentzel Introducere în teoria cuantică a câmpurilor de undă. - M., L.: OGIZ, 1947. - S. 32
↑ vezi Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Introduction to the theory of cuantized fields. - § 4, 6.
↑ Vladimir Fock Arhivat la 2 ianuarie 2015 la Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
↑ Vladimir Fock // Zeitschrift fur Physik 39 (1926) 226.
↑ Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie Arhivat 14 octombrie 2017 la Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 37:895-906. — 1926.
↑ Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie Arhivat 10 iunie 2017 la Wayback Machine (Efectul Compton în teoria Schrödinger) // Zeitschrift für Physik. — v. 40.-iss. 1.-pp. 117-133 (1926). - DOI 10.1007/BF01390840 .
↑ Se poate lua pur și simplu rădăcina operatorului între paranteze din partea stângă a ecuației $((-i\mathbf {\nabla } )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi$ , adică să găsim Hamiltonianul în acest fel; atunci prima derivată în raport cu timpul ar rămâne pe partea dreaptă, iar analogia cu ecuația Schrödinger ar fi și mai imediată și directă. Cu toate acestea, se argumentează că pentru cazul unui câmp scalar (sau vectorial), este imposibil să se facă acest lucru în așa fel încât Hamiltonianul rezultat să fie local. Pentru cazul unui bispinor, Dirac a reușit astfel să obțină un hamiltonian local (și chiar cu derivate de ordinul întâi), obținând astfel așa-numita ecuație a lui Dirac (toate soluțiile din spațiul Minkowski, de altfel, sunt, de asemenea, soluții ale ecuației Klein-Gordon, dar nu invers; iar în spațiul curbat diferența dintre ecuații devine clară). $\psi$ $\psi$
↑ vezi nota 2.

Vezi și

Link -uri

Ecuația liniară Klein-Gordon la EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Ecuația neliniară Klein-Gordon la EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare