Spațiu metric convex

Spațiile metrice convexe sunt definite intuitiv ca spații metrice cu proprietatea că orice „segment” care conectează două puncte din acel spațiu conține alte puncte decât capetele sale.

Definiție

Considerăm un spațiu metric ( X , d ) și fie x și y două puncte în X . Un punct z din X este între x și y dacă toate cele trei puncte sunt distincte perechi și

d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),

adică inegalitatea triunghiulară devine o egalitate. Un spațiu metric convex este un spațiu metric ( X , d ) astfel încât pentru oricare două puncte distincte x și y din X , există un al treilea punct z în X situat între x și y .

Note

Bulge metric:

nu implică convexitate în sensul obișnuit pentru submulțimi ale spațiului euclidian (vezi exemplul numerelor raționale)
nu implică conectivitate (vezi exemplul numerelor raționale)
nu implică convexitatea geodezică (engleză) a varietăților riemanniene (de exemplu, se poate considera un spațiu euclidian cu un disc închis).

Exemple

Spațiile euclidiene, adică spațiul tridimensional obișnuit și analogii săi pentru alte dimensiuni, sunt spații metrice convexe. Având în vedere două puncte distincte arbitrare și într-un astfel de spațiu, mulțimea tuturor punctelor care satisfac „egalitatea triunghiului” de mai sus formează un segment de linie între și care conține întotdeauna alte puncte decât și De fapt, conține un continuum de puncte . $X$ $y$ $z$ $X$ $y,$ $X$ $y.$

Orice set convex dintr-un spațiu euclidian formează un spațiu metric convex cu norma euclidiană indusă. i. Pentru mulțimile închise , este adevărat și invers: dacă o submulțime închisă a unui spațiu euclidian, împreună cu distanța indusă, este un spațiu metric convex, atunci este și o mulțime convexă (acesta este un caz special al afirmației mai generale luate în considerare de mai jos).
Un cerc este un spațiu metric convex dacă distanța dintre două puncte este definită ca lungimea celui mai scurt arc care leagă acele puncte de pe cerc.

Segmente metrice

Fie un spațiu metric arbitrar (nu neapărat convex). Un subset se numește segment metric între două puncte distincte și la dacă există un segment numeric și o mapare izometrică $(X,d)$ $S\subset X$ $X$ $y$ $X,$ $[a,b]$

\gamma:[a,b]\la X,

astfel încât și $\gamma ([a,b])=S,$ $\gamma (a)=x$ $\gamma (b)=y.$

Este evident că orice punct al acestui segment metric , cu excepția „capetelor” sale și se află între și. În consecință, dacă într-un spațiu metric există segmente metrice între oricare două puncte diferite ale spațiului, atunci este un convex. spațiu metric. $S$ $X$ $y$ $X$ $y.$ $(X,d)$

În general, inversul nu este adevărat. Numerele raționale formează un spațiu metric convex cu metrica obișnuită, dar nu există niciun segment care să lege două numere raționale și să fie format doar din numere raționale. Cu toate acestea, dacă este un spațiu metric convex și, în plus , este complet , se poate dovedi că pentru oricare două puncte din există un segment metric care le leagă, în general vorbind, nu singurul. $(X,d)$ $x\ney$ $X$

Spații metrice convexe și mulțimi convexe

După cum sa menționat în secțiunea de exemple, submulțimile închise ale unui spațiu euclidian formează spații metrice convexe dacă și numai dacă sunt mulțimi convexe. Este firesc să presupunem că spațiile metrice convexe sunt o generalizare a conceptului de convexitate, unde segmentele liniare sunt înlocuite cu cele metrice.

Trebuie remarcat, totuși, că convexității metrice astfel definite îi lipsește una dintre cele mai importante proprietăți ale mulțimilor convexe euclidiene, și anume convexitatea intersecției a două mulțimi convexe. Într-adevăr, așa cum sa subliniat în secțiunea de exemple, un cerc cu distanța dintre două puncte, măsurată ca lungimea celui mai scurt arc care le conectează, formează un spațiu metric convex și complet .

Cu toate acestea, dacă și sunt două puncte dintr-un cerc care sunt diametral opuse unul față de celălalt, atunci există două segmente metrice care le conectează. Aceste două arce sunt convexe metric, dar intersecția lor nu este convexă metric. $X$ $y$ $\{x,y\)$

Vezi și

metrica internă

Bibliografie

Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A.Ointroducere în spațiile metrice și teoria punctului fix . - Wiley-IEEE, 2001. - ISBN 0-471-41825-0 .

Kaplansky, Irving. Teoria multimilor si spatii metrice (neopr.) . - Societatea Americană de Matematică, 2001. - ISBN 0-8218-2694-8 .