Algebră geometrică

Algebra geometrică este o construcție istorică a algebrei expusă în a doua carte a „ Principiilor ” lui Euclid (secolul al III-lea î.Hr.), unde operațiile erau definite direct pentru mărimi geometrice, iar teoremele au fost demonstrate prin construcții geometrice. Cu alte cuvinte, algebra matematicienilor antici nu numai că a apărut din problemele de geometrie, ci a fost construită complet pe o bază geometrică [1] .

De exemplu, produsul valorilor numerice a fost definit [2] ca un dreptunghi cu laturile și .

Exemple

Enunțul teoremei lui Pitagora poate fi interpretat ca o egalitate algebrică sau ca o egalitate a ariilor pătratelor construite pe catete și pătratului construit pe ipotenuză . A doua modalitate este un exemplu de abordare algebrei geometrice.

Legea distribuției a fost reprezentată de matematicienii antici ca egalitatea ariei unui dreptunghi cu suma ariilor a două dreptunghiuri obținute prin tăierea celui original paralel cu una dintre laturi (vezi figura).

Istorie

În secolul al IV-lea î.Hr. e. pitagoreicii au descoperit că diagonala unui pătrat este incomensurabilă cu latura lui, adică raportul lor ( ) nu poate fi exprimat nici ca număr natural , nici ca fracție . Cu toate acestea, matematicienii antici nu recunoșteau alte obiecte numerice, cu excepția numerelor naturale, chiar și o fracție era considerată de ei nu ca număr, ci ca raport ( proporție ) [3] .

El a reușit să găsească o cale de ieșire în secolul al IV-lea î.Hr. e. Eudoxus din Cnidus - a introdus, alături de numere, conceptul de mărimi geometrice (lungimi, arii, volume). Pentru mărimile omogene au fost definite operații aritmetice similare cu cele numerice. Teoria lui Eudoxus a fost expusă de Euclid în a cincea carte a lui Principia și a fost folosită în Europa până în secolul al XVII-lea. Euclid a trebuit să demonstreze din nou teoremele despre numere separat pentru mărimi, iar aritmetica mărimilor a fost mult mai slabă decât aritmetica numerică, fie și numai pentru că se referea doar la mărimi omogene [4] [5] .

Critica

În timpurile moderne, a devenit clar că construirea algebrei numerice pe baza geometriei a fost o greșeală. De exemplu, din punct de vedere al geometriei, expresiile și nici măcar nu aveau o interpretare geometrică ( dimensiunea fizică a valorii rezultatului nu era definită) și, prin urmare, nu aveau sens; același lucru este valabil și pentru numerele negative [6] .

Începând cu Geometria lui Descartes (1637), matematicienii europeni au luat o cale diferită - au creat geometria analitică , care, în loc să reducă algebra la geometrie, reduce geometria la algebră, iar această cale s-a dovedit a fi mult mai fructuoasă. Pentru a face acest lucru posibil, Descartes a extins conceptul de număr - a absorbit toate numerele reale , inclusiv pe cele iraționale , și este abstract , adică separat de geometrie [7] . Conceptul separat de mărime geometrică devine atunci de prisos. Algebrizarea geometriei a făcut posibilă și descoperirea unor trăsături comune în problemele geometrice care păreau a fi complet independente [8] .

Unii istorici au pus sub semnul întrebării existența algebrei geometrice. De exemplu, Shabtai Unguru credea că, deoarece istoria matematicii a fost scrisă nu de istorici, ci de matematicieni, în reconstrucțiile lor au pornit de la faptul că matematica este în esență neschimbată și, prin urmare, atunci când prezentau istoria, au folosit liber idei și termeni ai matematicii moderne.

Note

  1. ↑ Nikiforovsky, Freiman, 1976 , p. 5.
  2. ↑ Zeiten, 1932 , p. 42-43.
  3. ↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 72-74.
  4. ↑ Kolmogorov A. N. Value // Mathematical Encyclopedia. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977. - T. 1.
  5. ↑ Istoria matematicii, Volumul I, 1970 , p. 78.
  6. ↑ Bashmakova I. G. Prelegeri despre istoria matematicii în Grecia antică // Cercetări istorice și matematice . - M .: Fizmatgiz , 1958. - Nr. 11 . - S. 309-323 .
  7. ↑ Iuşkevici A.P. Descartes şi matematica, 1938 , p. 279-282.
  8. ↑ Scott, JF Lucrarea științifică a lui René Descartes. - New York: Garland, 1987. - ISBN 0824046722 .

Literatură