Cantitati comparabile

Mărimi comensurabile este un termen istoric care denotă cantități pentru care există o măsură comună . O măsură comună a cantităților este o mărime care este un număr întreg de ori conținut în fiecare dintre ele [1] . Dacă o astfel de măsură nu există, atunci astfel de cantități sunt numite incomensurabile .

Să presupunem că măsura comună este conținută în mărimile a și b m și , respectiv, n ori. Numărul m / n se numește raportul acestor cantități comparabile. Raportul a două mărimi comensurabile este exprimat printr- un număr rațional și incomensurabil- irațional . Prin urmare, mai spunem că numărul a este un multiplu rațional al numărului b .

Un exemplu de mărimi incomensurabile este diagonala unui pătrat și latura acestuia, deoarece raportul lor ( ) nu poate fi reprezentat exact de niciun număr rațional. ${\sqrt {2}}$

Orice pereche (și orice mulțime finită) de numere raționale sunt comensurabile. Numerele iraționale pot fi comensurabile (de exemplu, și , al căror raport este 3), dar pot fi și incomensurabile. $12{\sqrt {20}}$ $8{\sqrt {5}}$

Istorie

Pitagorei (sec. VI î.Hr.) erau siguri că „ elementele numerelor sunt elementele tuturor lucrurilor... și că întreaga lume este armonie și număr ” [2] . În același timp, ei au recunoscut ca numere numai numerele naturale ; și au considerat numerele fracționale ca raporturi ale numerelor naturale ( proporții ) și nu au luat în considerare numerele, deoarece unitatea era considerată indivizibilă.

Prima fisură din modelul pitagoreic al lumii a fost propria lor dovadă de iraționalitate , formulată geometric ca incomensurabilitate a diagonalei unui pătrat cu latura sa (secolul al V-lea î.Hr.). Imposibilitatea de a exprima lungimea unui segment fie printr-un număr natural, fie prin raportul numerelor naturale a pus sub semnul întrebării principiul principal al pitagorismului. Chiar și Aristotel, care nu le împărtășea părerile, și-a exprimat uimirea de faptul că există lucruri care „nu pot fi măsurate cu cea mai mică măsură” [3] . ${\sqrt {2}}$

Talentatul Pitagora Theaetetus a încercat să salveze situația . El (și mai târziu Eudoxus ) a propus un nou concept de „cantitate geometrică”, care a fost formulat acum în limbaj geometric și nu au existat probleme de comensurabilitate. Teoria lui Eudoxus este expusă în Cartea a V -a a Elementelor lui Euclid . Pe lângă incomensurabilitatea diagonalei unui pătrat cu latura sa, Euclid a stabilit incomensurabilitatea multor alte perechi de mărimi:

laturile unui pentagon regulat și raza cercului circumscris în jurul acestuia;
laturile unui decagon regulat și raza cercului circumscris în jurul acestuia;
muchiile unui poliedru regulat ( tetraedru , cub , octaedru , icosaedru , dodecaedru ) și raza sferei descrise în jurul acestui poliedru [4] .

Adepții oamenilor de știință antici - matematicieni indieni și islamici - au renunțat la prejudecățile pitagorice și au considerat orice cantitate măsurabilă ca un număr. În Europa, această abordare a fost proclamată de Newton în „ Universal Arithmetic ” (1707):

Prin număr înțelegem nu atât un set de unități, cât o relație abstractă a unei cantități cu o altă cantitate de același fel, luată ca unitate.

Această abordare egalizează complet drepturile cantităților comensurabile și incomensurabile (adică numerelor raționale și iraționale ).

Vezi și

Note

↑ Mărimi comensurabile și incomensurabile // Enciclopedia Matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1985. - T. 5. - S. 73.
↑ Aristotel . Metafizică. Traducere și note de A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, p. 26-27.
↑ Aristotel . Metafizică. Traducere și note de A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, p. 22.
↑ Andronov I. K. Matematica numerelor reale și complexe. - Iluminismul, 1975. - S. 9-10. — 158 p.