Teoria grupurilor geometrice este o ramură a matematicii care studiază grupurile finit generate folosind relațiile dintre proprietățile lor algebrice și proprietățile topologice și geometrice ale spațiilor pe care acționează astfel de grupuri, sau grupurile în sine, considerate obiecte geometrice (ceea ce se face de obicei de către luând în considerare graficul Cayley și metricile de vocabular corespunzătoare ).
Teoria grupurilor geometrice, ca ramură separată a matematicii, a apărut relativ recent și a început să iasă în evidență clar la sfârșitul anilor 1980 și începutul anilor 1990. Teoria grupurilor geometrice interacționează cu topologia de dimensiuni joase , geometria hiperbolică , topologia algebrică , teoria computațională a grupurilor . Ea este, de asemenea, asociată cu teoria complexității , logica matematică , studiul grupurilor Lie și al subgrupurilor lor discrete , sistemele dinamice , teoria probabilității , teoria K și alte domenii ale matematicii.
Teorema lui Gromov asupra grupurilor de creștere polinomială ar trebui considerată primul rezultat în teoria grupurilor geometrice . Dovada folosește pentru prima dată așa-numita convergență Gromov-Hausdorff .
Cu toate acestea, pasul principal în formarea teoriei geometrice a grupurilor a fost făcut în lucrarea lui Gromov despre grupurile hiperbolice. [1] Definiția unui grup hiperbolic dată în acest articol a oferit o interpretare geometrică clară a teoriei grupurilor cu mici anulări .