Ipoteza lui Hall

Conjectura lui Hall este o ipoteză teoretică a numerelor nerezolvată pentru 2015 privind o estimare superioară pentru soluțiile ecuației Diophantine Mordell pentru un anumit . Are mai multe formulări de diferite forțe. A fost formulat de Hall în 1971. $y^{2}=x^{3}+k$ $k\neq 0$

Formulare și precizări

Formularea originală este:

Există o constantă astfel încât dacă pentru și atunci . $C>0$ $y^{2}=x^{3}+k$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ ${\displaystyle |x|\leqslant C|k|^{2))$

Din soluții specifice ale diferitelor ecuații pentru diferite , se pot obține limite inferioare pentru . Cel mai puternic exemplu a fost găsit de Elkis în 1998: $k$ $C$

447884928428402042307918^{2}-5853886516781223^{3}=-1641843

De aici rezultă estimarea . Acest lucru face ca ipoteza să nu fie plauzibilă în această formulare, deși această formulare nu a fost respinsă. $C>2171$

Stark și Trotter au propus în 1980 o versiune slăbită a conjecturii lui Hall:

Pentru orice există o constantă astfel încât dacă pentru și , atunci . $\epsilon > 0$ $C(\epsilon )>0$ $y^{2}=x^{3}+k$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ $|x|\leqslant C(\epsilon )|k|^{2+\epsilon }$

Datorită improbabilității versiunii originale a ipotezei Hall, acum ipoteza Hall se numește versiunea sa slăbită cu . $\epsilon$

S-a dovedit că indicele 2 din evaluare nu poate fi redus - ipoteza devine incorectă pentru evaluarea speciei (Danilov, 1982). $|x|\leqslant C|k|^{2-\epsilon }$

Teorema lui Davenport - Un analog al ipotezei lui Hall pentru polinoame

În 1965, Davenport a dovedit un analog al conjecturei lui Hall pentru polinoame:

Dacă , unde , atunci . $g(t)^{2}=f(t)^{3}+k(t)$ $k(t)\neq \mathrm {const} ,f(t),g(t)\neq 0$ $\deg f(t)\leqslant 2(\deg k(t)-1)$

Această teoremă decurge imediat din teorema Mason-Stothers , un analog al ipotezei ABC pentru polinoame: Fie polinoame coprime neconstante perechi astfel încât , atunci $a(t),b(t),c(t)$ $a+b=c$

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatorname {rad} (abc)) -1.

Iată radicalul polinomului , adică produsul diferiților săi factori primi . $\mathrm {rad} (f)$

Înlocuirea , , dă 2 inegalități: $c=g^{2}$ $a=f^{3)$ $b=k$

3\deg f,2\deg g\leqslant \deg f+\deg g+\deg k-1

din care derivă teorema.

Relația cu ipoteza ABC

Ipoteza lui Hall decurge din ipoteza ABC . Din ipoteza ABC, urmează imediat una și mai puternică, așa-zisa. Conjectura radicală a lui Hall :

Pentru orice există o constantă astfel încât dacă pentru și , atunci . $\epsilon > 0$ $C(\epsilon )>0$ $y^{2}=x^{3}+k$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ ${\text{gcd}}(x,y)=1$ $|x|\leqslant C(\epsilon )\mathrm {rad} (k)^{2+\epsilon }$

Iată radicalul unui număr întreg . $\mathrm {rad} (k)$ $k$

Se pare că conjectura radicală a lui Hall implică și ipoteza ABC. Cu toate acestea, această afirmație nu este banală. [1] [2]

O generalizare a conjecturii lui Hall la alte grade este conjectura Pillai .

Note

↑ Schmidt, Wolfgang M. Aproximații diofantine și ecuații diofantine (nedefinite) . — al 2-lea. - Springer-Verlag , 1996. - T. 1467. - S. 205-206. — (Note de curs la matematică). — ISBN 3-540-54058-X .
↑ Bombieri, Gubler. Înălțimi în geometrie diofantică (neopr.) . - Cambridge University Press , 2006. - T. 652. - S. 424-435. — ISBN 0-511-14061-4 .

Literatură

Richard K Guy . Probleme nerezolvate în teoria numerelor (neopr.) . — al 3-lea. - Springer-Verlag , 2004. - P. D9. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Hall, Jr., Marshall. Ecuația diofantică x 3 - y 2 = k // Calculatoare în teoria numerelor (neopr.) / Atkin, AOL; Mesteacăn, BJ. - 1971. - S. 173 -198. — ISBN 0-12-065750-3 .

Link -uri

O pagină despre problemă Arhivată 22 februarie 2018 la Wayback Machine de Noam Elkies
Tabel cu exemple bune de conjectura lui Marshall Hall de Ismael Jimenez Calvo.