Ipoteza abc

Ipoteza abc (ipoteza Esterle-Musser) este o afirmație în teoria numerelor formulată independent de matematicienii David Masser în 1985 [1] și Joseph Esterle în 1988 [2] .

Dovada conjecturei abc a fost mult timp una dintre principalele probleme nerezolvate în teoria numerelor și rămâne așa până în zilele noastre. Starea acestei probleme este în prezent contestată. Nu a fost încă posibil să se confirme sau să infirme dovada lui Mochizuki obținută în 2012.

Formulare

Pentru oricare există o constantă , la care pentru oricare trei numere întregi între prime și , astfel încât , inegalitatea $\varepsilon >0$ $K(\varepsilon )$ $A$ $b$ $c$ $a+b=c$

\max {\big (}|a|,|b|,|c|{\big )}\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc){\ mare )}^{1+\varepsilon },

unde este radicalul numărului , adică numărul egal cu produsul divizorilor primi ai produsului . $\operatorname {rad}(abc)$ $abc$ $abc$

Note

Fără pierderea generalității, putem considera numai numere naturale crescătoare și . Apoi inegalitatea se reduce la următoarele: $A$ $b$ $c$ $c\leqslant K(\varepsilon )\cdot {\big (}\operatorname {rad} (abc) {\big )}^{1+\varepsilon }.$
Condiția este necesară. Pentru oricare există un triplu de numere coprime astfel încât . De exemplu, un triplu al formei , unde . $\varepsilon >0$ $K$ $a,b,c=a+b$ $c>K\cdot \operatorname {rad} (abc)$ $a=1,b=2^{2\cdot 3^{n}}-1,c=2^{2\cdot 3^{n}}$ $K<3^{n-1}$

Consecințele

Conjectura lui Beal și ultima teoremă a lui Fermat

Valabilitatea ipotezei abc implică validitatea ipotezei lui Beal pentru suficient de mare , iar din aceasta validitatea ultimei teoreme a lui Fermat pentru grade suficient de mari [3] . $z$

Dovada conjecturii lui Beal bazată pe ipoteza abc

Conform conjecturii lui Beal, dacă ( , , , , , sunt numere naturale și ), atunci , , au un divizor comun. $A^{x}+B^{y}=C^{z}$ $A$ $B$ $C$ $X$ $y$ $z$ $x,\;y,\;z>2$ $A$ $B$ $C$

Să demonstrăm conjectura lui Beale pentru suficient de mare din contrariul . Să presupunem că există un număr infinit de , pentru care conjectura lui Beal este falsă. Aplicam ipoteza abc , conform careia: $z$ $z$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})\right)^{{1+\varepsilon } }

Să învățăm asta . De aceea: $\operatorname {rad}(A^{x}B^{y}C^{z})=\operatorname {rad}(ABC)\leqslant ABC$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot \left(\operatorname {rad}(ABC)\right)^{{{1+\varepsilon }}\leqslant K(\varepsilon )\cdot (ABC)^ {{1+\varepsilon}}

Deoarece din condițiile teoremei este evident că și , atunci . Apoi: $A<C$ $B<C$ $ABC\leqslant C^{3}$

C^{z}\leqslant K(\varepsilon )\cdot C^{{{3+3\varepsilon }}

Luând logaritmul ambelor părți ale inegalității și împărțind la , obținem o limită superioară a valorii : $\log C$ $z$

z\leqslant {\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))+3+3\varepsilon

, (*)

în plus, relația trebuie să fie finită, deoarece, conform condiției , , , sunt naturale (i.e. ) ${\frac {\log K(\varepsilon )}{\log C))$ $A$ $B$ $C$ $A,B\geqslant 1\;\Rightarrow \;C\geqslant 2$

Astfel, este posibil să găsim o valoare finită pentru care inegalitatea (*) nu este satisfăcută, adică ipoteza abc nu este valabilă aici, ceea ce înseamnă că ipoteza făcută despre invaliditatea ipotezei lui Beal pentru suficient de mare este eronată. . Pentru cantitatea finită rămasă , conjectura lui Beal poate fi demonstrată numeric. $z$ $z$ $z$

Ipotezele lui Pillai și catalană

Din validitatea ipotezei abc rezultă validitatea ipotezei Pillai , iar din aceasta validitatea ipotezei catalane .

Dovada lui Mochizuki

În august 2012, respectatul matematician japonez Shinichi Mochizuki a anunțat că a reușit să demonstreze conjectura abc [4] [5] . Dovada pe care a propus-o s-a dovedit a fi extrem de dificilă chiar și din punctul de vedere al matematicienilor specialiști [6] .

După ce a postat dovada online, Mochizuki a refuzat toate ofertele de a spune comunității rezultatele sale în persoană, dar câțiva matematicieni au luat asupra lor să verifice dovada cu ajutorul lui Mochizuki. Ei publică rapoarte de progres asupra acestei lucrări [7] . Începând cu sfârșitul anului 2015, Mochizuki a început să comunice puțin câte puțin cu comunitatea despre rezultatele sale [8] . La sfârșitul anului 2017, în lume există între 10 și 20 de experți în teoria creată de Mochizuki [9] .

Astfel, dovada lui Shinichi Mochizuki este disponibilă publicului, nu este infirmată, dar nu este încă considerată verificată în comunitatea științifică. Este neobișnuit ca o dovadă să rămână în această stare nedeterminată pentru o perioadă lungă de timp [9] [10] (spre deosebire de cazurile în care dovezile care au fost considerate verificate și corecte s-au dovedit a avea erori).

În 2018, Peter Scholze și Jakob Stix, specialiști în domenii legate de ipoteza abc și lucrările lui Mochizuki, au anunțat că la punctul cheie în dovedirea ipotezei abc în teoria lui Mochizuki (ceea ce a cauzat de multă vreme dificultăți deosebite matematicienilor care încearcă să înțeleagă teoria) există o eroare fatală [11] [6] . Mochizuki a răspuns că Stix și Scholze au interpretat greșit unele aspecte cheie ale dovezii sale și, prin urmare, au făcut simplificări inacceptabile [12] .

Din 2020, dovada lui Mochizuki este încă într-un statut incert, comunitatea matematică nu este convinsă de corectitudinea ei, în ciuda acceptării dovezii pentru publicare în revista Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences (PRIMS, „Publicațiile cercetării Institute for Mathematical Sciences") Institutul de Cercetare pentru Științe Matematice de la Universitatea Kyoto (Japonia) este institutul în care lucrează Mochizuki [13] [14] .

În martie 2021, dovada lui Mochizuki a fost publicată în PRIMS [15] .

Vezi și

Note

↑ DW Masser. Probleme deschise (engleză) // Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory / WWL Chen. - Londra: Colegiul Imperial, 1985. - Vol. 25 .
↑ J. Oesterle. Nouvelles approches du "théorème" de Fermat (franceză) // Séminaire N. Bourbaki. - 1988. - Vol. 694 . — P. 165–186 . — ISSN 0303-1179 .
↑ R. Daniel Mauldin. O generalizare a ultimei teoreme a lui Fermat: Conjectura Beal și problema premiului // Notices of the AMS. - 1985. - Vol. 44 , nr. 11 . - P. 1436-1437 .
↑ Matematicianul japonez a anunțat demonstrarea ipotezei ABC , Lenta.ru (11 septembrie 2012). Arhivat din original pe 14 septembrie 2012. Preluat la 11 septembrie 2012.
↑ Mochizuki, Shinichi (august 2012). Teoria Teichmuller inter-universală I: Construcția teatrelor Hodge , Teoria Teichmuller inter-universală II: Evaluarea teoretică Hodge-Arakelov , Teoria Teichmuller inter-universală III: Împărțirile canonice ale rețelei Log-theta. , Teoria inter-universală Teichmuller IV: calcule de volum log și fundamente teoretice de set , disponibil la http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/papers-english.html Arhivat 2 februarie 2021 la Wayback Machine
↑ 12 David Michael Roberts . O criză de identificare // Inferență. - 2019. - Vol. 4, nr. 3.
↑ IUTeich Verification Report 2013-12 Arhivat 13 septembrie 2014 la Wayback Machine , IUTeich Verification Report 2014-12 Arhivat 22 ianuarie 2015 la Wayback Machine
↑ „Japanese Perelman” a fost de acord să explice principalul secret al matematicii. Copie de arhivă din 27 noiembrie 2015 la Wayback Machine // Lenta.ru, 2015-10-08
↑ 12 Timothy Revell . Proba de matematică derutantă ABC are acum un „rezumat” impenetrabil de 300 de pagini . New Scientist (7 septembrie 2017). Preluat la 8 decembrie 2017. Arhivat din original la 23 decembrie 2017. (nedefinit)
↑ Caroline Chen. Paradoxul dovezii (4 mai 2013). Consultat la 6 septembrie 2016. Arhivat din original pe 16 septembrie 2013. (nedefinit) Traducere: Daniil Basmanov. Paradoxul probei (17 iunie 2013). Data accesului: 6 septembrie 2016. Arhivat din original pe 14 septembrie 2016. (nedefinit)
↑ Klarreich, Erica . Titans of Mathematics Se ciocnește peste Epic Proof of ABC Conjecture , Quanta (20 septembrie 2018). Arhivat din original pe 14 martie 2021. Preluat la 21 septembrie 2018 _ _
↑ Mochizuki, Shinichi Report on Discussions, ținut în perioada 15–20 martie 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory . Preluat la 18 ianuarie 2019. Arhivat din original la 9 noiembrie 2018. (nedefinit)
Mochizuki, Shinichi Comentarii asupra manuscrisului lui Scholze-Stix referitor la Teoria Teichmüller interuniversală . Consultat la 18 ianuarie 2019. Arhivat din original la 21 septembrie 2018. (nedefinit)
Mochizuki, Shinichi Comentarii asupra manuscrisului (versiunea 2018-08) de Scholze-Stix referitor la Teoria Inter-Universal Teichmüller . Preluat la 18 ianuarie 2019. Arhivat din original la 24 octombrie 2018. (nedefinit)
↑ Revista Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences , cu toate acestea, va publica lucrarea matematicianului Shinichi Mochizuki cu dovada conjecturii Esterle-Musser Copie de arhivă din 11 iunie 2020 la Wayback Machine // Lenta.Ru , 3 aprilie 2020
↑ Nature (Marea Britanie): Dovada matematică pentru a zgudui teoria numerelor este disponibilă . Preluat la 12 aprilie 2020. Arhivat din original la 12 aprilie 2020. (nedefinit)
↑ Mochizuki, dovada lui Shinichi Mochizuki a conjecturii ABC . Preluat la 14 iulie 2021. Arhivat din original la 3 mai 2021. (nedefinit)

Link -uri

Weisstein, Eric W. abc Conjecture (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Prelegeri despre ipoteza ABC: Lectura 1 , Lectura 2 , Lectura 3 , Lectura 4 (de Keith Conrad).
R. Borcherds , Discurs de matematică la licență: Conjectura abc pe YouTube

Literatură

Ian Stewart . „Cele mai mari probleme de matematică”. - M . : " Alpina non-fiction ", 2016. - 460 p. — ISBN 978-5-91671-507-1 .