Conjectura lui Erdő asupra progresiilor aritmetice
Conjectura lui Erdős asupra progresiilor aritmetice [1] este o ipoteză în combinatorică aditivă , formulată de Pal Erdős , conform căreia, dacă suma reciprocelor numerelor naturale pozitive ale unei anumite mulțimi diverge, atunci mulțimea conține progresii aritmetice arbitrar lungi .
Formal, dacă:
,
adică un număr mare, apoi conține o progresie aritmetică de orice lungime predeterminată.
Erdős a promis la un moment dat un premiu de 3 mii de dolari SUA pentru probarea ipotezei [2] , din 2008, a fost stabilit un premiu de 5 mii de dolari SUA [3] .
Relația cu alte revendicări
Consecințele ipotezei
Conjectura Erdős este o generalizare a teoremei Szemeredi (deoarece seria diverge ca una armonică ), precum și a teoremei Green-Tao (din moment ce suma , unde însumarea este peste numere prime, diverge și ea [4] ).
Afirmații din care decurge ipoteza
Având în vedere echivalenţa cu discrepanţa , conjectura lui Erdő poate fi dovedită dacă se dovedeşte că .
Totuși, în momentul de față s-a dovedit doar [5] că , unde , și de asemenea, într-un caz anume , că .
Note
- ↑ Ipoteza este uneori confundată cu ipoteza Erdős-Turan.
- ↑ Bollobas, Bela . Pentru a demonstra și a presupune: Paul Erdős și matematica sa (engleză) // American Mathematical Monthly : jurnal. - 1988. - Martie ( vol. 105 , nr. 3 ). — P. 233 . — .
- ↑ Soifer, Alexander (2008); Cartea de colorat matematică: matematica colorării și viața plină de culoare a creatorilor săi; New York: Springer. p. 354. ISBN 978-0-387-74640-1
- ↑ M. Aigner, G. Ziegler, „Dovezi din carte” - M. „Mir”, 2006, p. 13
- ↑ Shkredov, 2006 , p. 115-116.
Link -uri
- P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres Arhivat 28 aprilie 2016 la Wayback Machine , Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres , Fasc 2., Exp. Nu. 24, pp. 7,
- P. Erdős: Probleme în teoria numerelor și combinatorică, Proc. A șasea Conf. Manitoba. pe Num. Matematică, numărul congresului. XVIII (1977), 35-58.
- P. Erdős: Despre problemele combinatorii pe care mi-aș dori cel mai mult să le văd rezolvate, Combinatorica , 1 (1981), 28. doi : 10.1007/BF02579174
- I. D. Shkredov. Teorema lui Szemeredi și probleme privind progresiile aritmetice // Uspekhi Mat. - 2006. - T. 61, nr. 6(372). - S. 111-178. - doi : 10.4213/rm5293 .