Ipoteza unui nonsens monstruos

Conjectura monstruoasă [2] este o presupunere matematică dovedită care, într-un mod neașteptat [3] , conectează un grup de monștri finiți simpli și funcții modulare (în special, -invarianta [ ) [4] . $M$

Prima manifestare a conexiunii a fost descoperită la sfârșitul anilor 1970 de John McKay , care a atras atenția asupra faptului că coeficienții seriei Fourier ale invariantului normalizat : $j$

j(\tau )={\frac {1}{q))+744+196884q+21493760q^{2}+864299970q^{3}+\cdots

[5]

( este raportul semiperiodelor , ) sunt combinații liniare specifice de dimensiuni [6] ale reprezentărilor ireductibile ale grupului : $\tau$ $q=e^{2\pi i\tau }$ $r_{i}$ $M$

{\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&= 2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\& =2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_ {5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\puncte \end{aliniat}}

John Thompson , pentru a explica fenomenul, și-a propus să studieze serii de puteri cu coeficienți care sunt caractere ale reprezentărilor monștrilor calculate pentru diferitele sale elemente. În 1979, John Conway (care a inventat termenul de „prostii monstruoase” când a aflat pentru prima dată despre relația McKay) și Simon Norton au construit astfel de funcții (seria McKay-Thompson) și au găsit asemănarea lor cu funcțiile modulare principale ( germană: Hauptmodul ), precizând conținutul ipotezei: fiecărei serii McKay-Thompson îi corespunde o anumită funcție modulară principală [7] .

În 1992, presupunerea a fost dovedită de studentul lui Conway Richard Borcherds , care mai târziu a câștigat premiul Fields , printre altele, pentru acest rezultat. Dovada s-a bazat în esență pe proprietățile unor algebre de operatori de vârfuri ( monster-vertex algebra ), pentru care grupul-monstru este un grup de simetrie și, prin urmare, legătura aserțiunii cu teoria corzilor și teoria câmpurilor conformale (bazată pe algebrele operatorilor de vârfuri) se descoperă.

Note

↑ Ian Stewart . Îmblanzirea infinitului: o istorie a matematicii de la primele numere la teoria haosului / traducere. din engleza. E. Pogosyan. — M. : Mann, Ivanov i Ferber, 2019. — S. 297. — ISBN 9785001174554 .
↑ O astfel de traducere a numelui ipotezei se găsește în literatura de popularitate [1] ; în literatura științifică în limba rusă, termenul moonshine este adesea folosit fără traducere.
↑ David Terr. Monstrous Moonshine (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Ian Stewart. Îmblanzirea infinitului: O istorie a matematicii de la primele numere la teoria haosului . — ISBN 5001174554 .
↑ Secvența OEIS A014708 _
↑ Secvența OEIS A001379 _
^ JH Conway și S. P. Norton. Monstruos Moonshine // Bull. London Math. soc. - 1979. - Vol. 11. - P. 308-339. - doi : 10.1112/blms/11.3.308 .