Serie de puteri

O serie de puteri cu o variabilă este o expresie algebrică formală de forma:

F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},

în care coeficienţii sunt prelevaţi din vreun inel . ${un}}$ ${R}$

Spațiu serie de putere

Spațiul seriei de puteri cu o variabilă și coeficienți din este notat cu . Spațiul are structura unei algebre diferențiale peste un inel ( comutativă , integrală, cu unitate dacă așa este inelul ). Este adesea folosit în matematică datorită faptului că relațiile formale diferențiale-algebrice și chiar funcționale sunt ușor reprezentabile și rezolvabile în ea (vezi metoda de generare a funcțiilor ). Când se utilizează, aceste relații se transformă în ecuații algebrice pentru coeficienții seriei. Dacă sunt rezolvate, se vorbește despre obținerea unei soluții formale la problema inițială sub forma unei serii de puteri formale. ${R}$ $R[[X]]$ $R[[X]]$ ${R}$ ${R}$

Sunt definite operațiile de adunare, înmulțire, diferențiere formală și suprapunere formală . Lăsa $R[[X]]$

F(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}X^{n},G(X)=\sum \limits _{{n=0} }^{{\infty }}b_{n}X^{n},H(X)=\sum \limits _{{n=0}}^{{\infty }}c_{n}X^{n }.

Apoi:

H=F+G\Săgeată la stânga la dreapta \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{k+l=n}}a_{k}b_{l}

H=F\circ G\Leftrightarrow \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{{s=1}}^{n}a_{s}\sum \limits _{{k_{1}+ \dots +k_{s}=n}}b_{{k_{1}}}b_{{k_{2}}}\dots b_{{k_{s}}}

(deși este necesar să se respecte )

b_{0}=0

H=F'\Săgeată stânga la dreapta \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{{n+1}}

Convergența seriei de putere

Dintr-o serie de puteri formale cu coeficienți reali sau complexi, prin atribuirea unei valori unei variabile formale din domeniul numerelor reale sau complexe, se poate obține o serie de numere . O serie de numere este considerată convergentă ( însumabilă ) dacă o succesiune de sume parțiale compuse din membrii săi converge și este numită absolut convergentă dacă o succesiune de sume parțiale compuse din termenii săi luați modulo (în normă) converge. ${X}$

Semne de convergență

Pentru seriile de puteri, există mai multe teoreme care descriu condițiile și natura convergenței lor.

Prima teoremă a lui Abel : Fie seriaconverge într-un punct. Apoi această serie converge absolut în cercși uniform înorice submulțime compactă a acestui cerc. $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ ${x_{0}}$ ${|x|<|x_{0}|}$ ${X}$

Inversând această teoremă, obținem că, dacă o serie de puteri diverge pentru , ea diverge pentru toate astfel încât . De asemenea, din prima teoremă a lui Abel rezultă că există o astfel de rază a cercului (posibil zero sau infinită) încât pentru , seria converge absolut (și uniform în submulțimi compacte ale cercului ), iar pentru , diverge. Această valoare se numește raza de convergență a seriei, iar cercul se numește cerc de convergență. ${x=x_{0}}$ ${X}$ ${|x|>|x_{0}|}$ ${R}$ ${|x|<R}$ $X$ ${|x|<R}$ ${|x|>R}$ $R$ ${|x|<R}$

Formula Cauchy-Hadamard : Valoarea razei de convergență a unei serii de puteri (dacă există o limită superioară și este pozitivă, teorema seriei de puteri a lui Hadamard ) poate fi calculată din formula:

{1 \over R}={\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}}\,|a_{n}|^{{1/n}}

(Pentru definirea limitei superioare, consultați articolul „ Limita secvenței parțiale ”.) $\varlimsup \limits _{{n\rightarrow +\infty }}$

Fie și două serii de puteri cu raze de convergență și . Apoi $F(x)$ $G(x)$ ${R_{F}}$ ${R_{G}}$

R_{{F+G}}\geq \min\{R_{F},\,R_{G}\}

R_{{F\cdot G}}\geq \min\{R_{F},R_{G}\}

R_{{F'}}\,=\,R_{F}

Dacă interceptarea seriei este zero, atunci $G(x)$

R_{{F\circ G}}\geq {R_{F} \over {R_{F}+1}}R_{G}

Întrebarea convergenței seriei în punctele limitei cercului de convergență este destul de complicată și nu există un răspuns general aici. Iată câteva dintre teoremele privind convergența unei serii la punctele limită ale cercului de convergență: ${|x|=R}$

Semnul lui D'Alembert : Dacă inegalitatea este valabilă pentru și $n>N$ $\alpha >1$

\left|{a_{n} \over a_{{n+1}}}\right|\geq R\left(1+{\alpha \over n}\right)

atunci seria puterilor converge în toate punctele cercului absolut și uniform în .

\Sigma \,a_{n}x^{n}

{|x|=R}

X

Semnul lui Dirichlet : Dacă toți coeficienții unei serii de puteri suntpozitivi și secvențaconverge monoton către zero, atunci această serie converge în toate punctele cercului, cu excepția poate punctul. $\Sigma \,a_{n}x^{n}$ $un$ ${|x|=1}$ ${x=1}$

Suma unei serii de puteri în funcție de un parametru complex este un subiect de studiu în teoria funcțiilor analitice . $X$

Vezi și

Variații și generalizări

O serie de puteri în n variabile este o expresie algebrică formală de forma:

F(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\sum \limits _{{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}=0}}^ {{+\infty }}a_{{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}}X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_ {2}}}\dots X_{n}^{{k_{n}}}

sau, în notație multi-index,

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_{{\alpha }}X^({\alpha }}),

unde este un vector , este un multi-index , este un monom . Spațiul serii de puteri în variabile și coeficienți din se notează cu . Definește operațiile de adunare, înmulțire, diferențiere față de fiecare variabilă și -superpunere locală. Lăsa $X$ $X=(X_{1},X_{2},\puncte,X_{n})$ $\alfa$ $\alpha =(k_{1},k_{2},\dots,k_{n})$ $X^{{\alpha ))$ $X^{{\alpha }}=X_{1}^{{k_{1}}}X_{2}^{{k_{2}}}\dots X_{n}^{{k_{n}}}$ $n$ $R$ $R[[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]]$ $n$

F(X)=\sum \limits _{{\alpha }}a_({\alpha }}X^{{\alpha }}),G(X)=\sum \limits _{{\alpha }}b_ {{\alpha }}X^{{\alpha }},H(X)=\sum \limits _{{\alpha }}c_({\alpha }}X^{{\alpha }}.

Apoi:

H=F+G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=a_{{\alpha }}+b_{{\alpha }}

H=F\,\cdot \,G\Leftrightarrow \forall {\alpha }\,c_({\alpha }}=\sum \limits _({\beta +\gamma =\alpha }}a_{{\beta }}b_{{\gamma }}

H={\partial F \over \partial X_{i}}\Leftrightarrow \forall (k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\,c_{{k_{1},k_{ 2},\dots ,k_{n}}}=(k_{i}+1)a_{{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{i}+1,\dots ,k_{ n})}}