Dualitate Poincaré

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 noiembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

În matematică , teorema dualității lui Poincaré , numită după matematicianul francez Henri Poincaré , este un rezultat de bază despre structura grupurilor de omologie și a varietatilor de coomologie . Se afirmă că toate k -ele grupe de coomologie ale unei varietati M închise orientabile n - dimensionale sunt izomorfe cu ( n - k )-a grupe de omologie ale lui M :

H^{k}(M)\cong H_{nk}(M).

Istorie

Versiunea originală a teoremei dualității a fost formulată de Poincare fără dovezi în 1893 . Coomologiile au fost inventate la doar două decenii după moartea sa, așa că a formulat ideea dualității în termeni de numere Betti : numerele k -lea și ( n - k )-ale ale unui n-lea închis (compact fără graniță) orientabil . varietatea dimensională sunt egale cu:

b_{k}(M)=b_{nk}(M).

Poincaré a dat mai târziu o demonstrație a acestei teoreme în termeni de triangulații duale [1] [2] .

Formulare modernă

Formularea modernă a dualității Poincare include conceptele de omologie și coomologie: dacă M este o varietate n - dimensională orientabilă închisă , k este un număr întreg , atunci există un izomorfism canonic al grupului k -lea de coomologie în ( n - k )-a omologie. grup : $H^{k}(M)$ $H_{nk}(M)$

D:H^{k}(M)\la H_{nk}(M)

Acest izomorfism este definit de clasa fundamentală a varietății : $[M]$

D(\alpha )=[M]\frown \alpha

unde este un cociclu , denotă -multiplicarea claselor de omologie și coomologie. Aici sunt date omologia și coomologia cu coeficienții din inelul întregilor, dar izomorfismul are loc și pentru un inel cu coeficienți arbitrari. $\alpha \in H^{k}(M)$ $\se încrunta$ $\se încrunta$

Pentru varietăți orientabile necompacte, coomologia din această formulă trebuie înlocuită cu coomologie cu suport compact .

Pentru grupele de omologie și coomologie, care sunt zero prin definiție, respectiv, conform dualității Poincaré, grupurile de omologie și coomologie pentru o varietate n - dimensională sunt zero. $k<0$ $k>n$

Împerecherea biliniară

Fie M o varietate orientabilă închisă , notată prin torsiunea grupului , și partea sa liberă ; toate grupurile de omologie sunt luate cu coeficienți întregi. Există mapări biliniare : $\tau H_{k}(M)$ $H_{k}(M)$ $fH_{k}(M)=H_{k}(M)/\tau H_{k}(M)$

fH_{k}(M)\otimes fH_{nk}(M)\la \mathbb {Z}

și

\tau H_{k}(M)\otimes \tau H_{nk-1}(M)\la \mathbb {Q} /\mathbb {Z} .

(Aici , este grupul de factori aditivi al grupului de numere raționale peste numere întregi.)

\mathbb {Q} /\mathbb {Z}

Prima formă se numește indice de intersecție , a doua este coeficientul de legătură . Indicele de intersecție determină dualitatea nedegenerată între părțile libere ale grupurilor și , coeficientul de legătură determină între torsiunea grupurilor și . $H_{k}(M)$ $H_{nk}(M)$ $H_{k}(M)$ $H_{nk-1}(M)$

Afirmația că aceste perechi biliniare definesc dualitatea înseamnă că mapările

fH_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(fH_{nk}(M),\mathbb {Z} )

și

\tau H_{k}(M)\to \mathrm {Hom} _{\mathbb {Z} }(\tau H_{nk-1}(M),\mathbb {Q} /\mathbb {Z } )

sunt izomorfisme de grup.

Acest rezultat este o consecință a dualității Poincaré și a teoremei coeficientului universal , care dau egalitățile și . Astfel, grupurile sunt izomorfe, deși nu există izomorfism natural și, în mod similar, . $H_{k}(M)\simeq H^{nk}(M)$ $fH^{nk}(M)\equiv \mathrm {Hom} (H_{nk}(M);\mathbb {Z} )$ $\tau H^{nk}(M)\equiv \mathrm {Ext} (H_{nk-1}(M);\mathbb {Z} )\equiv \mathrm {Hom} (\tau H_{nk -1}(M);\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$ $fH_{k}(M)\simeq fH_{nk}(M)$ $\tau H_{k}(M)\simeq \tau H_{nk-1}(M)$

Link -uri

↑ Henri Poincaré, Complément à l'Analysis Situs , Rendiconti del Circolo matematico di Palermo, 13 (1899) pag. 285-343
↑ Henri Poincaré, Second complément à l'Analysis Situs , Proceedings of the London Mathematical Society, 32 (1900), paginile 277-308

Literatură

Dold A. Prelegeri de topologie algebrică . — M .: Mir, 1976
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Un curs de topologie homotopică. — M .: Nauka, 1989