Secțiunea Dedekind

Secțiunea Dedekind este una dintre modalitățile de a construi numere reale din numere raționale [1] .

Mulțimea numerelor reale este definită ca mulțimea secțiunilor Dedekind. Pe ele se pot continua operatiile de adunare si inmultire .

Istorie

Metoda a fost introdusă în 1872 de Richard Dedekind [2] [3] .

O construcție similară pentru mărimile geometrice este prezentă implicit în Elementele lui Euclid , și anume, în Cartea a V-a, definiția 5 este următoarea:

Ei spun că cantitățile sunt în același raport dintre primul și al doilea și al treilea cu al patrulea, dacă multiplii egali ai primului și al treilea sunt simultan mai mari, simultan egali sau simultan mai mici decât multiplii egali ai celui de-al doilea și al patrulea. , fiecare pentru orice multiplicitate, dacă le luăm în ordinea potrivită (9, 10, 11, 12). [4] .

Idei similare au fost publicate în 1849 de matematicianul francez Joseph Bertrand [5] .

Definiție

O secțiune Dedekind este o împărțire a mulțimii de numere raționale în două submulțimi (inferioară sau stânga) și (sus sau dreapta) astfel încât [6] : $\mathbb {Q}$ $A$ $B$

$a<b$ pentru orice și , $a\în A$ $b\în B$
$B$ nu are un element cel mai mic.

În plus, se notează secțiunea Dedekind (deși ar fi suficient să se indice una dintre aceste mulțimi, a doua o completează cu ). $(A, B)$ $\mathbb {Q}$

Dacă o mulțime are un element mai mare, atunci secțiunea Dedekind poate fi identificată cu acest număr rațional. În caz contrar, tăietura definește un număr irațional care este mai mare decât toate numerele din set și mai mic decât toate numerele din mulțime . Având operații aritmetice și ordine definite pe mulțimea de secțiuni obținute , obținem un câmp de numere reale , iar fiecare secțiune determină unul și un singur număr real. $A$ $A$ $B$

Exemplu

Un număr real corespunde unei secțiuni Dedekind, pentru care [7] : ${\sqrt {2}}$

Multe

A=\{x\in \mathbb {Q} \mid x<0\lor x^{2}<2\}.

Multe

B=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\land x^{2}>2\};

Intuitiv, ne putem imagina că pentru a determina , am tăiat setul în două părți: toate numerele din stânga lui , și toate numerele din dreapta lui ; respectiv, este egală cu cea mai mică limită inferioară a mulțimii . ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ ${\sqrt {2}}$ $B$

Ordonarea secțiunilor Dedekind

Să introducem o ordine în setul de secțiuni. În primul rând, determinăm că două secțiuni și sunt egale dacă (atunci și ). Apoi, definiți [8] : $(A, B)$ $(C,D)$ $A=C$ $B=D$

(A,B)<(C,D)

, dacă și în același timp

A\subset C

A\neq C.

Este ușor de verificat dacă toate cerințele ordinii liniare sunt îndeplinite. În plus, pentru numerele raționale, noua ordine este aceeași cu cea veche.

Din această definiție a ordinii rezultă:

Teorema de aproximare . Orice număr real poate fi aproximat prin numere raționale cu orice precizie, adică poate fi închis într-un interval cu granițe raționale de o lungime arbitrar mică [9] .

Aritmetica secțiunilor Dedekind

Pentru a defini operații aritmetice cu secțiuni, se poate folosi teorema de aproximare formulată în secțiunea anterioară.

Să fie numere reale. Conform teoremei de aproximare, se pot specifica intervale de aproximare cu granițe raționale pentru ele: $\alpha ,\beta$

a_{1}<\alpha <a_{2}\quad b_{1}<\beta <b_{2}.

Atunci suma [10] este un număr real conținut în toate intervalele de forma Suma numerelor reale există întotdeauna, este definită în mod unic, iar pentru numerele raționale coincide cu definiția anterioară a sumei. Scăderea este întotdeauna posibilă, prin urmare, în raport cu operația de adunare astfel definită, numerele reale formează un grup aditiv . $\alpha +\beta$ $(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2}).$

În mod similar, se definește înmulțirea numerelor reale care, împreună cu adunarea, transformă mulțimea numerelor reale într- un câmp ordonat [11] .

Variații și generalizări

Vezi și: finalizarea Dedekind-McNeil

Secțiunile Dedekind pot fi definite în mod similar nu numai pentru numerele raționale, ci și în orice altă mulțime ordonată liniar . Vezi Completitudine (teoria ordinii) . Se poate demonstra că aplicarea acestei proceduri la mulțimea numerelor reale dă din nou $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} .$

Un analog al secțiunilor Dedekind este folosit pentru a construi numere suprareale [12] .

Vezi și

Modalități constructive de a defini un număr real

Note

↑ Enciclopedia de matematică, 1979 .
↑ Richard Dedekind . Stetigkeit und irationale Zahlen. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1872. ( online ).
↑ Richard Dedekind. Continuitate și numere iraționale = Stetigkeit und irationale Zahlen / per. cu el. S. O. Shatunovsky . - 4. - Matesis , 1923.
↑ Începuturile lui Euclid . Traducere din greacă și comentarii de D. D. Mordukhai-Boltovsky cu participarea editorială a lui I. N. Veselovsky și M. Ya. Vygodsky . M.-L.: GTTI, 1949-1951. Cărțile I-VI pe www.math.ru Arhivat 6 octombrie 2015 la Wayback Machine sau la mccme.ru Arhivat 11 august 2011 la Wayback Machine ; Cărțile VII-X pe www.math.ru Arhivat 6 octombrie 2015 la Wayback Machine sau la mccme.ru Arhivat 18 septembrie 2011 la Wayback Machine ; Cărțile XI-XIV pe www.math.ru Arhivat 6 octombrie 2015 la Wayback Machine sau la mccme.ru Arhivat 20 septembrie 2011 la Wayback Machine
↑ Bertrand, Joseph. Tratatul de aritmetică . - 1849. - „Un număr incomensurabil poate fi definit prin simpla indicare a modului în care se poate forma mărimea pe care o exprimă cu ajutorul unei unități. În cele ce urmează, presupunem că această definiție constă într-o indicație a numerelor comensurabile mai mici sau mai mari decât unul dat. Arhivat pe 17 ianuarie 2021 la Wayback Machine
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 17-18.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 18, 36.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 19-21.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 22-24.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 28-31.
↑ Fikhtengolts, 1966 , p. 31-34.
↑ Vezi prelegerea lui Conway, aproximativ 0:16:30 până la 0:19:30 . Preluat la 11 octombrie 2020. Arhivat din original la 9 noiembrie 2020. (nedefinit)

Literatură

Kudryavtsev L. D. Dedekind secțiunea // Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1979. - T. 2: D - Koo. - S. 65. - 1104 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - Ed. al 6-lea. - M . : Nauka, 1966. - T. I. - 680 p.