Modalități constructive de a defini un număr real

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 22 august 2021; verificările necesită 3 modificări .

Cu o abordare constructivă a definiției unui număr real, numerele reale sunt construite pe baza unora raționale , care sunt considerate date. În toate cele trei metode de mai jos, numerele raționale sunt luate ca bază și sunt construite noi obiecte, numite numere iraționale . Ca urmare a completării lor a mulțimii de numere raționale, obținem un set de numere reale.

Teoria secvențelor fundamentale a lui Cantor

Abordarea descrisă mai jos pentru definirea numerelor reale a fost propusă de G. Kantor într-un articol publicat în 1872 [1] . Idei similare au fost exprimate de E. Heine și S. Mere .

Criteriul de convergență al lui Cauchy și utilizarea lui de către Cantor

Punctul de plecare al teoriei lui Cantor a fost următoarea idee [2] . Orice număr real poate fi dat printr-o succesiune de numere raționale

a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots

reprezentând aproximări la acest număr real cu un grad de precizie crescând, adică convergând către acest număr.

Să înțelegem acum un număr real ca un obiect definit de o succesiune convergentă de numere raționale . $\alfa$ $a_{1},a_{2},\ldots$

Cu toate acestea, aici pândește un cerc vicios . În definirea unei secvențe convergente, este implicat un număr real, care este limita acestuia - chiar conceptul pe care vrem să-l definim folosind secvențe convergente:

$\{un}\}$ converge există , astfel încât $\Lungileftrightarrow$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $\lim _{{n\to \infty }}a_{n}=\alpha$

Pentru a nu obține un cerc vicios, este necesar să aveți un semn care să vă permită să exprimați condiția convergenței unei secvențe în ceea ce privește membrii ei, adică fără a vorbi despre sensul însuși al limitei secvenței . .

Pe vremea lui Cantor, un astfel de criteriu fusese deja găsit. A fost stabilită într-o formă generală de către matematicianul francez O. Cauchy [3] . Conform criteriului Cauchy, o secvență converge dacă și numai dacă $a_{1},a_{2},\ldots$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;\forall m>0\;|a_{{n+m}}-a_{n}| <\varepsilon

Figurat vorbind, condiția pentru convergența unei secvențe în criteriul Cauchy este ca membrii ei, pornind de la un anumit număr, să se afle în mod arbitrar aproape unul de celălalt.

Desigur, Cauchy nu a putut să dea vreo fundamentare riguroasă a acestui criteriu din cauza absenței teoriei numărului real.

Kantor, într-un anumit sens, a dat totul peste cap. El a atras atenția asupra faptului că acest semn în sine caracterizează proprietățile interne ale unei secvențe convergente: poate fi formulat și verificat fără a vorbi despre numărul real în sine, care este limita acestei secvențe. Și, prin urmare, această caracteristică poate fi folosită pentru a evidenția clasa de secvențe prin care se pot determina numerele reale .

Astfel, pasul principal pe care îl face Cantor în construirea teoriei numărului real este că el consideră orice succesiune de numere raționale care satisface condiția Cauchy ca definind un număr real (rațional sau irațional). $a_{1},a_{2},\ldots$

Când vorbesc de o mărime numerică în sens generalizat, aceasta se întâmplă în primul rând în cazul în care se propune o succesiune infinită de numere raționale.

a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},\ldots

dat de o lege și având proprietatea că diferența devine infinit mică ca , indiferent de întregul pozitiv , sau, cu alte cuvinte, că pentru un număr întreg (rațional pozitiv) ales arbitrar există astfel încât , și este orice număr întreg pozitiv. $a_{{n+m}}-a_{n}$ $n$ $m$ $\varepsilon$ $n$ $|a_{{n+m}}-a_{n}|<\varepsilon$ $m$ G. Kantor [1]

În terminologia modernă, o secvență care satisface condiția Cauchy este numită secvență Cauchy sau secvență fundamentală .

Construirea teoriei numerelor reale după Cantor

Două secvențe fundamentale și pot defini același număr real. Acest lucru are loc sub condiția $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

\forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )\;\forall n>N(\varepsilon )\;|a_{n}-b_{n}|<\varepsilon

Astfel, pe mulțimea tuturor secvențelor fundamentale ale numerelor raționale se stabilește o relație de echivalență , iar în conformitate cu principiul general, toate secvențele fundamentale sunt împărțite în clase de echivalență . Semnificația acestei partiții este astfel încât secvențele din aceeași clasă determină același număr real, în timp ce secvențele din clase diferite determină altele diferite. Astfel, există o corespondență unu-la-unu între numerele reale și clasele de șiruri fundamentale ale numerelor raționale.

Acum putem formula definiția principală a teoriei numerelor reale a lui Cantor.

Definiție. Un număr real este o clasă de echivalență a șirurilor fundamentale de numere raționale.

Numărul real (clasa de echivalență) definit de șirul fundamental de numere raționale se notează cu . $\{un}\}$ $[un}]$

Operațiile aritmetice cu numere reale sunt introduse după cum urmează. Dacă două numere reale și sunt date , definite prin secvențe fundamentale și , astfel încât $\alfa$ $\beta$ $\{un}\}$ $\{b_{n}\}$

$\alpha =[a_{n}]$ și $\beta =[b_{n}]$

atunci suma este numărul real definit de secvența , adică clasa de echivalență care conține această secvență: $\alfa$ $\beta$ $\{a_{n}+b_{n}\}$

\alpha +\beta {\overset {{\text{def}}}{=}}[a_{n}+b_{n}]

Este ușor de verificat dacă această definiție este corectă, adică nu depinde de alegerea unor secvențe specifice din clasă și din clasă . $\{un}\}$ $\alfa$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

Diferența, produsul și câtul numerelor reale sunt definite în mod similar.

Un număr real este prin definiție mai mare decât un număr , adică dacă $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\alpha >\beta$

\exists \varepsilon >0\;\exists N\;\forall n>N\;a_{n}\geqslant b_{n}+\varepsilon

Această definiție nu depinde de alegerea secvențelor din clasă și din clasă . $\{un}\}$ $\alfa$ $\{b_{n}\}$ $\beta$

Sistemul numerelor raționale este inclus în sistemul numerelor reale prin intermediul unui acord suplimentar, conform căruia șirul

a,a,\ldots a,\ldots

toți membrii cărora sunt egali cu același număr rațional determină însuși acest număr, astfel încât . Cu alte cuvinte, orice clasă care conține o secvență staționară este identificată cu un număr . Astfel, mulțimea construită a numerelor reale este o extensie a mulțimii numerelor raționale. $A$ $[a]{\overset {{\text{def}}}{=}}a$ $[A]$ $a,a,\ldots a,\ldots$ $A$

Aceasta completează construcția mulțimii numerelor reale. În plus, pe baza definițiilor introduse, se pot demonstra proprietățile cunoscute ale numerelor reale.

Completitudinea setului de numere reale

Din definiție rezultă că fiecare șir fundamental de numere raționale converge către un număr real. Acest principiu stă la baza definiției unui număr real. Datorită lui, mulțimea numerelor raționale a fost completată cu elemente noi - numere iraționale - limitele șirurilor fundamentale ale numerelor raționale, care nu aveau limită în vechea mulțime de numere raționale.

Se ridică o întrebare firească dacă este posibil să se efectueze din nou o procedură de completare similară , deja pentru mulțimea construită de numere reale: să se formeze secvențe fundamentale de numere reale și să se completeze mulțimea de numere reale cu limitele celor dintre ele care nu aveau limitează înainte.

Se pare că acest lucru nu se poate face. Fiecare succesiune fundamentală de numere reale are o limită în mulțimea numerelor reale. Cu alte cuvinte, mulțimea numerelor reale conține limitele tuturor secvențelor fundamentale ale elementelor sale. Această proprietate a mulțimii numerelor reale se numește completitate . Și însăși afirmația despre convergența oricărei secvențe fundamentale de numere reale este conținutul principal al criteriului de convergență Cauchy , care este teorema centrală în teoria lui Cantor.

Ideea completării setului de numere raționale cu limite ale șirurilor fundamentale, folosită de Cantor pentru a „crea” numere iraționale, a fost folosită ulterior de F. Hausdorff în demonstrarea celebrei teoreme de completare a spațiului metric .

Teoria zecimale infinite

Teoria fracțiilor zecimale infinite se întoarce la K. Weierstrass . În jurul anului 1863 a dezvoltat teoria numerelor reale, care a fost publicată din notele prelegerilor sale din 1872 [4] . Cu toate acestea, versiunea originală a teoriei lui Weierstrass diferă oarecum de teoria fracțiilor zecimale infinite prezentată în manualele moderne de analiză matematică (vezi Comentariul istoric mai jos ).

Numere raționale și zecimale

Ca și în cazul teoriei lui Cantor, presupunem că mulțimea numerelor raționale este dată . Se știe că orice număr rațional poate fi descompus într-o fracție zecimală , pe care o vom scrie sub forma: $\mathbb {Q}$ $p/q\in {\mathbb {Q}}$

p/q\sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

Dacă procesul de descompunere se oprește după un număr finit de pași, fracția zecimală va fi finită , în caz contrar, va fi infinită .

Orice fracție zecimală, finită sau infinită, poate fi considerată ca o serie formală a formei

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

unde indicele parcurge fie segmentul inițial al seriei naturale, fie, respectiv, întreaga serie naturală . Se poate demonstra că seria obținută prin extinderea unui număr rațional într-o fracție zecimală converge întotdeauna, iar suma sa este egală cu numărul rațional dat. $k$ $0,1,\ldots ,n$ $0,1,2,\ldots$ $p/q$

Important pentru prezentarea ulterioară este faptul că, dacă se obține o fracție zecimală infinită la descompunerea unui număr rațional, atunci această fracție va fi întotdeauna periodică .

Astfel, există o corespondență între numerele raționale și fracțiile zecimale, în care fiecărui număr rațional îi corespunde o singură fracție zecimală, dar pentru unele fracții (și anume infinite neperiodice) nu există un număr rațional care le corespunde. Este firesc să presupunem că aceste fracții corespund și unor numere ipotetice care nu sunt raționale. Prin introducerea în considerare a acestor numere ipotetice, pe care le vom numi iraționale , se pare că completăm golurile din totalitatea tuturor fracțiilor zecimale.

Astfel, pe baza teoriei unui număr real, punem ipoteza (ideea) că orice fracție zecimală este expansiunea unui număr real, rațional sau irațional : $\alfa$

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

În același timp, interpretăm această expansiune în același mod ca și în cazul numerelor raționale, adică considerăm că un număr real este suma unei serii. $\alfa$

\pm \sum _{{k}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Construcția teoriei fracțiilor zecimale infinite

Definiție. Un număr real este o fracție zecimală infinită, adică o expresie a formei

\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

unde există unul dintre simboluri sau , numit semnul numărului, este un întreg nenegativ, este o succesiune de zecimale (adică elemente ale mulțimii numerice ). $\p.m$ $+$ $-$ $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots a_{n},\ldots$ $\{0,1,\ldots 9\}$

În același timp, considerăm , prin definiție , că fracțiile și reprezintă același număr, precum și același număr reprezintă fracții de forma și . Sensul acestei convenții este evident, deoarece numerele raționale corespunzătoare acestor fracții sunt aceleași. [5] $+0,00\ldots$ $-0,00\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{n}999\ldots$ $\pm a_{0},a_{1}\ldots (a_{n}+1)000\ldots ,\;(a_{n}\neq 9)$

Este firesc să fim imediat de acord că fracțiile zecimale infinite periodice reprezintă numerele raționale care le corespund. Cu alte cuvinte, identificăm fracțiile periodice cu numere raționale. Conform acestei convenții, mulțimea numerelor raționale este o submulțime a mulțimii tuturor numerelor reale.

Mai jos este o schiță a construcției teoriei fracțiilor zecimale infinite.

În primul rând, se determină ordinea în mulțimea tuturor fracțiilor zecimale infinite. Acest lucru se face pe baza unei comparații secvențiale a cifrelor numerelor de la cel mai mare la cel mai mic. De exemplu, date două numere nenegative

{\begin{matrix}\alpha &=+a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots \\\beta &=+b_{0},b_{1}b_{ 2}\ldots b_{n}\ldots \end{matrice}}

Fie și să fie primele caractere necoincidente în notație zecimală și . Atunci dacă , atunci prin definiție și dacă , atunci . Pe baza comparației a două numere nenegative, se determină comparabilitatea oricăror două numere reale. $un$ $b_n$ $\alfa$ $\beta$ $a_{n}<b_{n}$ $\alpha <\beta$ $a_{n}>b_{n}$ $\alpha >\beta$

Se poate arăta că relaţia de comparaţie introdusă defineşte structura unei mulţimi ordonate liniar pe mulţimea fracţiilor zecimale infinite . De asemenea, se poate demonstra că pentru fracțiile periodice relația de ordine stabilită coincide cu relația de comparabilitate deja existentă pentru numerele raționale. $<$

După introducerea relației de ordine pe mulțimea fracțiilor zecimale infinite, demonstrăm teorema asupra limitei superioare exacte , care este fundamentală pentru construirea teoriei numărului real . Această teoremă exprimă faptul că o colecție ordonată de numere reale are proprietatea de continuitate (completitudine) conform lui Dedekind.

Acum operațiile aritmetice deja introduse pe submulțimea numerelor raționale sunt extinse la întregul set de numere reale prin continuitate .

Și anume, fie și două numere reale. Suma lor este un număr real care îndeplinește următoarea condiție: $\alfa$ $\beta$ $\alpha +\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \ leqslant b'')\Rightarrow (a'+b'\leqslant \alpha +\beta \leqslant a''+b'')

Se poate demonstra că un număr real care satisface această condiție există și este unic.

Înmulțirea numerelor este definită în mod similar . Produsul a două numere reale pozitive și se numește număr real care îndeplinește următoarea condiție: $\alfa$ $\beta$ $\alpha \cdot \beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} \;(a'>0)\land (b'>0)\land (a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a'\cdot b'\leqslant \alpha \cdot \beta \leqslant a''\cdot b'')

Ca și în cazul adunării, un număr care îndeplinește această condiție există și este unic. După aceea, este ușor să definiți înmulțirea a două numere reale cu semne arbitrare .

Se poate verifica că operaţiile de adunare şi înmulţire introduse pe mulţimea numerelor reale coincid cu operaţiile de adunare şi înmulţire a numerelor raţionale.

Aceasta completează construcția teoriei fracțiilor zecimale infinite. Mai mult, folosind definițiile introduse, se pot demonstra proprietățile cunoscute ale numerelor reale legate de operațiile aritmetice și relația de comparație.

În concluzie, observăm că prin definirea conceptului de limită a unei secvențe și a sumei unei serii de numere reale, putem demonstra propoziția care a fost anunțată la introducerea conceptului de număr real. Și anume: orice număr real este suma unei serii a expansiunii sale zecimale. Adică dacă

\alpha \sim \pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots

apoi

$\alpha =\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

Comentariu istoric

După cum sa menționat mai sus, Weierstrass însuși a considerat o construcție ușor diferită [4] [6] .

Teoria numerelor reale prezentată mai sus poate fi definită pe scurt ca teoria seriei formale a formei

$\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}$

unde este un întreg nenegativ și sunt zecimale $a_{0}$ $a_{k},k=1,2,\ldots$

Weierstrass, pe de altă parte, a considerat serii formale de o formă mai generală:

$\pm \sum _{{n=0}}^{{\infty }}a_{n}\cdot 1/n$

unde sunt numere întregi nenegative arbitrare . $a_{n},n=1,2,\ldots$

Evident, într-o astfel de construcție, un număr real poate fi reprezentat în infinit de moduri. În plus, este clar că nu tuturor acestor serii li se poate atribui o valoare numerică. De exemplu, un rând

$\sum _{{n=1}}^{{\infty }}1/n$

diverge.

Prin urmare, Weierstrass, în primul rând, ia în considerare doar seriile convergente - el definește astfel de serii ca și serie cu sume parțiale mărginite (vezi criteriul de convergență a unei serii cu termeni nenegativi) și, în al doilea rând, introduce o relație de echivalență pe această mulțime. Un număr real este definit ca o clasă de serii convergente echivalente.

Desigur, metoda de determinare a numerelor reale folosind fracții zecimale, adică folosind expansiunea nu în toate fracțiile alicote (adică, fracții de forma ), ci numai în puteri de zece , este mai convenabilă, deoarece aceasta atinge unicitatea reprezentând un număr real sub formă de serie. Totuși, dacă ne întoarcem la metoda generală Weierstrass, atunci analogia dintre abordarea Weierstrass și abordarea lui Cantor devine evidentă. Cantor a definit un număr real ca o clasă de echivalență a șirurilor convergente de numere raționale și a folosit criteriul Cauchy pentru a determina convergența unei secvențe. Weierstrass a procedat la fel, doar că în loc de secvențe convergente a considerat serii convergente, iar în locul criteriului Cauchy pentru convergența unei secvențe, a folosit criteriul pentru convergența unei serii cu termeni nenegativi (apropo, echivalentul teorema privind limita unei secvențe monotone poartă numele de Weierstrass). $1/n$ $1/10^{k}$

Teoria secțiunilor în regiunea numerelor raționale

Teoria lui Dedekind este cea mai simplă și din punct de vedere istoric prima teorie riguroasă a numărului real. Spre deosebire de abordările analitice ale lui Cantor și Weierstrass, teoria lui Dedekind se bazează pe considerații geometrice; de aici vizibilitatea acestuia.

Valoarea teoriei lui Dedekind constă în faptul că, pe lângă construirea numerelor reale, a fost primul care a dezvăluit esența matematică a conceptului de continuitate - concept care stă la baza analizei matematice și care fusese folosit de secole, referindu-se la dovezi. sau consideraţii de natură geometrică.

Teoria lui Dedekind, construită în 1858, a fost publicată în 1872 într-un mic pamflet numit „Continuitate și numere iraționale” ( în germană „Stetigkeit und irationale Zahlen” ). Până în prezent, această carte rămâne una dintre cele mai bune în ceea ce privește claritatea și accesibilitatea prezentării subiectului. Mai jos, în acest articol, vom urmări în principal trenul de gândire al lui Dedekind însuși.

Enunțul întrebării

Pentru a înțelege problema pusă de Dedekind, să descriem în termeni generali starea de fapt în analiza matematică care a avut loc în acel moment.

În prezentarea cursului de calcul diferențial , care în cea mai mare parte a fost condus prin metode riguroase, pentru a demonstra unele propoziții, a trebuit totuși să recurgă la claritatea geometrică.

De exemplu, pentru a demonstra teorema asupra limitei unei secvențe monotone, s-a trasat o linie dreaptă, pe care au fost marcate puncte reprezentând membrii șirului . În plus, au fost rostite fraze de următorul fel: „evident” , există un punct de care punctele se apropie la nesfârșit, sau „ar trebui” să existe un astfel de punct, deoarece linia numerică este „în mod continuu umplut cu puncte” . În plus, deoarece un număr rațional sau irațional îi corespunde oricărui punct de pe linie, atunci pentru numărul corespunzător punctului avem: . $Un}$ $un$ $A$ $Un}$ $A$ $A$ $\lim a_{n}=a$

Se spune adesea că calculul diferențial se ocupă de mărimi continue, dar nicăieri nu este dată această continuitate și chiar și în cea mai riguroasă expunere a calculului diferențial, dovezile nu se bazează pe continuitate, ci apelează, mai mult sau mai puțin conștient, fie la reprezentări geometrice sau la reprezentări care provin din geometrie sau, în cele din urmă, să bazeze demonstrația pe propoziții care nu au fost niciodată dovedite prin mijloace pur aritmetice.R. Dedekind, „Continuitatea și numerele iraționale”

Necesitatea de a implica considerații de natură geometrică pentru a demonstra o propunere pur aritmetică (pe numere) provoacă un anumit sentiment de nemulțumire și indică o „lipsă de justificare a aritmeticii” , adică absența unei teorii riguroase și complete a număr. Dar chiar dacă admitem posibilitatea raționamentului geometric, se pune o altă întrebare: despre continuitatea față de punctele dreptei în sine. Și, după cum se dovedește, conceptul de continuitate a unei linii drepte este lipsit de o definiție logică aici.

Pe baza acestei analize, Dedekind a stabilit următoarele două sarcini:

1. Găsiți o formulare logică a proprietății principale a unei linii drepte, care este conținută în reprezentările noastre vizuale de „umplere continuă a liniilor drepte” 2. Construiți o riguroasă teorie pur aritmetică a numărului , astfel încât acele proprietăți ale sistemului numeric, pentru a căror justificare au recurs anterior la reprezentări geometrice vizuale, să decurgă acum din definiția generală a numărului.

Comparația numerelor raționale cu puncte ale unei drepte

Dedekind pleacă de la mulțimea numerelor raționale ale căror proprietăți se presupune că sunt cunoscute. El compară sistemul numerelor raționale cu mulțimea punctelor unei drepte pentru a dezvălui proprietățile acesteia din urmă. $\mathbb {Q}$ ${\mathbb {L}}$

Numerele raționale formează o colecție pe care sunt date operațiile aritmetice de adunare și înmulțire, care au anumite proprietăți. Dar pentru o prezentare ulterioară, faptul că colecția este ordonată liniar este extrem de important : pentru oricare două numere diferite și putem spune că unul dintre ele este mai mic decât celălalt. $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ $A$ $b$

Mulțimea punctelor de pe o linie dreaptă este, de asemenea, o mulțime ordonată liniar. Relația de ordine dintre două puncte și aici se exprimă prin faptul că un punct se află la stânga celuilalt . ${\mathbb {L}}$ $p$ $q$ $p$ $q$

Această asemănare între numerele raționale și punctele unei linii poate fi dezvoltată prin stabilirea unei corespondențe între ele. După cum știți, pentru aceasta, pe o linie dreaptă se alege un anumit punct de plecare , o anumită unitate de lungime pentru măsurarea segmentelor, precum și o direcție pozitivă . Pentru fiecare , puteți construi lungimea corespunzătoare și, amânând-o de la punctul de plecare la dreapta sau la stânga, în funcție de faptul că numărul este pozitiv sau nu, vom obține un anumit punct corespunzător unui număr rațional . $a\în {\mathbb {Q}}$ $A$ $p\in {\mathbb {L}}$ $A$

Astfel, fiecare număr rațional poate fi asociat cu un anumit punct . În acest caz, numere diferite vor corespunde punctelor diferite. În plus, dacă numărul este mai mic decât , atunci punctul corespunzător lui se va afla la stânga punctului corespunzător lui . Cu alte cuvinte, raportul stabilit păstrează ordinea. $a\în {\mathbb {Q}}$ $p\in {\mathbb {L}}$ $A$ $b$ $p$ $A$ $q$ $b$

Continuitate în linie dreaptă

În același timp, se dovedește că pe linie există infinit de puncte care nu corespund niciunui număr rațional. Acest lucru rezultă din existența segmentelor incomensurabile , care era cunoscută de antichi (de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, adică iraționalitatea ). ${\mathbb {L}}$ ${\sqrt {2}}$

Figurat vorbind, linia dreaptă este mai dens plină de puncte decât mulțimea numerelor raționale este plină cu numere. Vedem că în mulțimea numerelor raționale există goluri , goluri corespunzătoare acelor puncte ale dreptei pentru care nu a existat un număr rațional corespunzător, în timp ce despre linie spunem că este „în mod continuu umplut cu puncte” . ${\mathbb {L}}$ $\mathbb {Q}$

Comparația anterioară a regiunii numerelor raționale cu linia dreaptă a condus la descoperirea în primul defect (Lückenhaftigkeit), a incompletitudinei sau a discontinuității, în timp ce dreptei îi atribuim completitudinea, absența golurilor, continuitatea.R. Dedekind, „Continuitatea și numerele iraționale”

Ce este mai exact această continuitate? Cum poate fi exprimată matematic această proprietate a unei linii drepte ?

Dedekind face următoarea observație. Dacă există un anumit punct al dreptei, atunci toate punctele liniei se împart în două clase: cele situate la stânga și cele situate la dreapta ; punctul în sine poate fi atribuit în mod arbitrar fie primei, fie clasei a doua. Cu toate acestea, pentru punctele de pe o linie dreaptă are loc principiul opus: $p$ $p$ $p$ $p$

Dacă punctele unei linii sunt împărțite în două clase, astfel încât fiecare punct din prima clasă se află la stânga fiecărui punct din a doua clasă, atunci există unul și un singur punct care produce această împărțire a dreptei în două clase, aceasta este disecția liniei în două bucăți.R. Dedekind, „Continuitatea și numerele iraționale”

Din punct de vedere geometric, această propoziție pare evidentă, dar nu putem să o dovedim. Dedekind subliniază că, în realitate, acest principiu nu este altceva decât un postulat, care exprimă esența proprietății de continuitate a unei linii drepte. Acceptând-o, atribuim dreptei acea proprietate pe care o numim continuitate.

Acceptarea acestei proprietăți a unei linii drepte nu este altceva decât o axiomă, prin intermediul căreia doar noi recunoaștem continuitatea acesteia ca linie dreaptă, investind mental continuitatea într-o linie dreaptă.R. Dedekind, „Continuitatea și numerele iraționale”

Să explicăm conținutul și interpretarea geometrică a principiului Dedekind. Imaginați-vă că toate punctele liniei sunt colorate în două culori - verde și roșu, astfel încât fiecare punct verde să se afle la stânga fiecărui punct roșu.

Este evident din punct de vedere geometric că trebuie să existe un astfel de punct pe linie la care culorile vin în contact. Acest punct „împarte linia în două clase”: toate punctele verzi se află în stânga acesteia, iar toate punctele roșii se află la dreapta. Acesta este principiul lui Dedekind.

În același timp, punctul „juncției culorilor” în sine trebuie să fie și de o anumită culoare, deoarece, prin condiție, toate punctele liniei sunt pictate fără excepție. Acest punct trebuie să fie fie verde, în acest caz ultimul punct verde, fie roșu, fiind primul punct roșu. După cum este ușor de văzut, aceste două opțiuni se exclud reciproc: în primul caz, nu există un prim punct roșu - există puncte roșii în mod arbitrar aproape de joncțiune, dar prima nu se află printre ele, iar în al doilea caz , din motive similare, nu există ultimul punct verde.

Acum să fim atenți la ce posibilități logice care pot avea loc teoretic, am exclus, făcând apel la claritatea geometrică. Este ușor de observat că sunt doar două dintre ele: în primul rând, s-ar putea întâmpla ca atât ultimul punct verde, cât și primul punct roșu să existe simultan; în al doilea rând, s-ar putea întâmpla să nu existe nici ultimul punct verde, nici primul punct roșu.

Se spune că prima situație este un salt . O astfel de imagine este posibilă pentru o linie dreaptă din care a fost omis un întreg interval de puncte intermediare.

Termenul decalaj este folosit pentru a descrie a doua situație . O astfel de imagine poate avea loc pentru o linie dreaptă din care un întreg segment, inclusiv capetele sale, a fost îndepărtat - în special, dacă a fost eliminat un singur punct.

Astfel, continuitatea unei linii înseamnă că nu există sărituri sau goluri în ea - pe scurt, nu există goluri.

În mod remarcabil, definiția de mai sus a continuității se aplică oricărui set ordonat de elemente.

Continuitate Dedekind

Să oferim acum o formulare precisă a continuității Dedekind aplicabilă unei mulțimi ordonate liniar arbitrar.

Definiție. Fie o mulțime ordonată liniar. O pereche ordonată de mulțimi și se numește secțiune în , iar mulțimile în sine sunt numite clase inferioară și , respectiv , superioară a secțiunii date , dacă sunt îndeplinite următoarele condiții: ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$ ${\mathsf {L}}$ $A$ $A'$

1. Clasele nu sunt goale:

$A\neq \varnothing ,A'\neq \varnothing$

2. Fiecare element aparține cel puțin uneia dintre clase

{\mathsf {L}}

$A\cup A'={\mathsf {L}}$

3. Fiecare element al clasei inferioare este mai mic decât orice element al clasei superioare :

$\forall a\in A,\forall a'\in A'\;(a<a')$

Vom nota secțiunea . $A|A'$

Definiție. O mulțime ordonată liniar se numește continuă (după Dedekind) dacă oricare ar fi secțiunea ei, sau în clasa inferioară a secțiunii există elementul cel mai mare, iar în cel superior nu există cel mai mic; sau în clasa superioară există un element cel mai mic, iar în cel de jos nu există cel mai mare (astfel de secțiuni se numesc Dedekind ). ${\mathsf {L}}$

Ca exemplu, luați în considerare mulțimea numerelor raționale. Este ușor de observat că nu pot exista salturi în el: dacă este elementul maxim al clasei inferioare, este elementul minim al clasei superioare, atunci numărul care se află la mijloc între și nu poate aparține nici celor inferioare, nici clasa superioară, care contrazice definiția unei secțiuni. $A$ $b$ $(a+b)/2$ $A$ $b$

În același timp, există lacune în setul de numere raționale - doar în acele locuri în care ar trebui să fie numerele iraționale. Luați în considerare, de exemplu, secțiunea definită de seturi $A|A'$

$A=\{x\in \mathbb {Q} :x\leq 0\lor (x>0\land x^{2}<2)\},A'=\{x\in \mathbb { Q} :x>0\land x^{2}>2\}$

Este ușor de observat că aceasta este într-adevăr o secțiune, cu toate acestea, nu există un element maxim în clasa inferioară și nici un element minim în cea superioară. Adică avem un gol.

Construcția numerelor iraționale

Astfel, mulțimea numerelor raționale, spre deosebire de o dreaptă, nu este continuă: are lacune. În lumina celor de mai sus, devine clar că pentru a construi o mulțime de numere reale, ale căror elemente sunt asociate cu punctele unei linii drepte, este necesar să se completeze toate locurile goale din mulțimea de numere raționale. numere.

Pentru orice secțiune a unui set de rațiuni de tip spațiu, adăugăm la mulțime un nou element (un număr irațional) , care, prin definiție, este mai mare decât orice număr din clasa inferioară și mai mic decât orice număr din clasa superioară. . Astfel, completăm spațiul gol dintre clasele de secțiuni. Vom spune că tăierea determină numărul irațional , sau că numărul irațional produce tăietura . $A|A'$ $\mathbb {Q}$ $\alfa$ $A$ $A'$ $A|A'$ $\alfa$ $\alfa$ $A|A'$

Combinând toate cazurile posibile, putem spune că orice tăietură din domeniul numerelor raționale determină un număr rațional sau irațional pe care îl produce această tăietură.

Definiție. Un număr irațional este orice secțiune din mulțimea numerelor raționale, în clasa inferioară a cărora nu există cel mai mare element, iar în clasa superioară nu există cel mai mic.

Definiție. Mulțimea numerelor reale este unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale. Fiecare element al mulțimii numerelor reale se numește număr real .

Mulțimea numerelor reale, așa cum este ușor de observat, este ordonată liniar conform relației de ordine introdusă. Următorul fapt este de o importanță fundamentală.

Teorema. Mulțimea numerelor reale este Dedekind continuă.

Această propoziție nu decurge automat din definiția numerelor iraționale, care a completat golurile din setul celor raționale. Este nevoie de dovezi.

Operațiile de adunare și înmulțire sunt introduse pe mulțimea numerelor reale prin continuitate (la fel ca în teoria fracțiilor zecimale infinite). Și anume, suma a două numere reale se numește număr real care îndeplinește următoarea condiție: $\alfa$ $\beta$ $\gamma$

$\forall a,a',b,b'\;(a\leqslant \alpha \leqslant a')\land (b\leqslant \beta \leqslant b')\Rightarrow (a+b\leqslant \gamma \leqslant a'+b')$

Din continuitatea numerelor reale rezultă că un astfel de număr real există și este unic. Mai mult, dacă și sunt numere raționale, atunci această definiție coincide cu definiția obișnuită a sumei a două numere raționale. În mod similar este introdusă înmulțirea și sunt dovedite proprietățile operațiilor și relațiile de ordine. $\gamma$ $\alfa$ $\beta$

Note

↑ 1 2 Kantor G. Lucrări despre teoria mulţimilor / ed. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M. : NAUKA, 1985. - S. 9-10. - (Clasice ale științei).
↑ Arnold I. V. Aritmetică teoretică. - S. 277.
↑ De fapt, Cauchy a stabilit un criteriu de convergență a unei serii, purtând și numele său, dar din fiecare dintre aceste două criterii rezultă cu ușurință un altul.
↑ 1 2 Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Ways and labyrinths. Eseuri despre istoria matematicii. — S. 287-289.
↑ Uneori, pentru ca corespondența dintre mulțimea numerelor reale și mulțimea fracțiilor zecimale infinite să fie unu-la-unu, ele consideră nu toate, ci doar admisibile fracții zecimale infinite, înțelegându-se ca atare pe toate cele care nu au o perioadă constând din unu nouă și, de asemenea, între care fracțiunea nu este inclusă $-0,00\ldots$
↑ Rybnikov K. A. Istoria matematicii. - T. 2. - S. 197.

Literatură

Referințe

Arnold V. I. Aritmetică teoretică. — M .: UCHPEDGIZ, 1938.

Bourbaki N. Eseuri de istoria matematicii / trad. din franceza I. G. Bashmakova, ed. K. A. Rybnikova. - M . : Editura de literatură străină, 1963.

Hilbert D. Fundamentele geometriei = Grundlagen der Geometrie / per. din a VII-a ediție germană a I. S. Gradshtein, ed. P. K. Raşevski. - M. - L .: Editura de stat de literatură tehnică și teoretică, 1948.

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Căi și labirinturi. Eseuri despre istoria matematicii. — Trans. din franceză.- M . : MIR, 1986. - 432 p.

Dedekind R. Continuitate și numere iraționale = Stetigkeit und irationale Zahlen. — ediția a 4-a revizuită. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p.

Zorich V. A. Analiză matematică. Partea I. - Ed. a IV-a, Rev. - M. : MTSNMO, 2002. - XVI + 664 p. — ISBN 5-94057-056-9 .

Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentele analizei matematice: În 2 ore.Partea I. - Ed. a VII-a - M . : FIZMATLIT, 2005. - 648 p. - ISBN 5-9221-0536-1 .

Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea. În trei volume / ed. Iuşkevici. - M. : NAUKA, 1970. - T. 1.

Kantor G. Lucrări despre teoria mulţimilor / ed. A. N. Kolmogorov, F. A. Medvedev, A. P. Yushkevich,. - M . : SCIENCE, 1985. - (Clasice ale științei).

Kudryavtsev L. D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M . : „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1 .

Reed K. Gilbert / trad. din engleza. I. V. Dolgaciov, ed. R. V. Gamkrelidze. — M .: NAUKA, 1977.

Rybnikov K. A. Istoria matematicii. - M . : Editura Universității din Moscova, 1963. - T. 2.

Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Un curs de analiză matematică. - ed. a III-a, corectat .. - M . : FIZMATLIT, 2001. - 672 p. — ISBN 5-9221-0008-4 .

Fikhtengol's G.M. Fundamentele analizei matematice. - Ed. a VII-a. - M. : FIZMATLIT, 2002. - T. 1. - 416 p. — ISBN 5-9221-0196-X .

Lectură recomandată

Daan-Dalmedico A., Peiffer J. Căi și labirinturi. Eseuri despre istoria matematicii.
Istoria matematicii din cele mai vechi timpuri până la începutul secolului al XIX-lea. În trei volume / ed. Iuşkevici. - T. 1.
Arnold V. I. Aritmetică teoretică.
Dedekind R. Continuitate și numere iraționale = Stetigkeit und irationale Zahlen. — 44 s.
Fikhtengol's G.M. Fundamentele analizei matematice.
Ter-Krikorov A. M., Shabunin M. I. Un curs de analiză matematică.
Ilyin V. A., Poznak E. G. Fundamentele analizei matematice: în 2 ore. Partea I.

Sisteme numerice
Seturi numărabile	numere naturale ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ numere întregi ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rațional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebric ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioadele Calculabil Aritmetic
Numerele reale și extensiile lor	Real ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaternioni ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Numerele Cayley (octave, octooni) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenions ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniuni Dual Hipercomplex Superreale Hipermaterial ireal
Instrumente de extensie numerică	Procedura Cayley-Dixon Teorema Frobenius Teorema Hurwitz
Alte sisteme numerice	numere cardinale Numere ordinale (transfinite, ordinale) p-adic Numere supranaturale numere de interval
Vezi si	numere duble Numere irationale numerele transcendentale fascicul numeric Biquaternion