Logaritm zecimal

Logaritmul în baza 10 este logaritmul în baza 10. Cu alte cuvinte, logaritmul în baza 10 al unui număr este soluția ecuației $b$ $10^{x}=b.$

Logaritmul zecimal real al unui număr există dacă ( logaritmul zecimal complex există pentru toate ). Standardul internațional ISO 31-11 îl desemnează . Exemple: $b$ $b>0$ $b\neq 0$ $\lg \,b$

\lg \,1=0;\,\lg \,10=1;\,\lg \,100=2

\lg \,1000000=6;\,\lg \,0{,}1=-1;\,\lg \,0{,}001=-3

În literatura străină, precum și pe tastatura calculatoarelor , există și alte notații pentru logaritmul zecimal: , și trebuie avut în vedere că primele 2 opțiuni se pot aplica și logaritmului natural . $\operatorname {jurnal} ,\operatorname {jurnal} ,\operatorname {log10}$

Proprietăți algebrice

Următorul tabel presupune că toate valorile sunt pozitive [1] :

	Formulă	Exemplu
Muncă	$\lg(xy)=\lg(x)+\lg(y)$	$\lg(10000)=\lg(100\cdot 100)=\lg(100)+\lg(100)=2+2=4$
Coeficientul de diviziune	$\lg \!\left({\frac {x}{y)}\right)=\lg(x)-\lg(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
grad	$\lg(x^{p})=p\lg(x)$	$\lg(10000000)=\lg(10^{7})=7\lg(10)=7$
Rădăcină	$\lg {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\lg(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$

Există o generalizare evidentă a formulelor de mai sus în cazul în care sunt permise variabile negative, de exemplu:

\lg |xy|=\lg(|x|)+\lg(|y|),

\lg \!\left|{\frac xy}\right|=\lg(|x|)-\lg(|y|),

Formula pentru logaritmul unui produs poate fi generalizată cu ușurință la un număr arbitrar de factori:

\lg(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\lg(x_{1})+\lg(x_{2})+\dots +\lg(x_{n})

Proprietățile de mai sus explică de ce utilizarea logaritmilor (înainte de inventarea calculatoarelor) a facilitat foarte mult calculele. De exemplu, multiplicarea numerelor cu mai multe valori folosind tabele logaritmice a fost efectuată conform următorului algoritm: $X y$

Găsiți logaritmii numerelor din tabele . $X y$
Adăugați acești logaritmi, obținând (după prima proprietate) logaritmul produsului . $x\cdot y$
Folosind logaritmul produsului, găsiți produsul în sine în tabele.

Împărțirea, care fără ajutorul logaritmilor este mult mai laborioasă decât înmulțirea, a fost efectuată după același algoritm, doar cu adăugarea logaritmilor înlocuită cu scăderea . În mod similar, au fost efectuate exponențiarea și extracția rădăcinilor .

Relația dintre logaritmii zecimali și naturali [2] :

\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x

Semnul logaritmului depinde de numărul care este logaritmic: dacă este mai mare decât 1, logaritmul este pozitiv, dacă este între 0 și 1, atunci este negativ. Exemplu:

\lg \,0{,}012=\lg \,(10^{{-2}}\times 1{,}2)=-2+\lg \,1{,}2\aprox -2+0 {,}079181=-1{,}920819

Pentru a unifica acțiunile cu logaritmi pozitivi și negativi, partea întreagă ( caracteristica ) a acestuia din urmă a fost subliniată deasupra:

\lg \,0{,}012\approx -2+0{,}079181={\bar {2}}{,}079181

Mantisa logaritmului, selectată din tabele, este întotdeauna pozitivă cu această abordare.

Funcția de logaritm zecimal

Dacă considerăm un număr logaritmic ca o variabilă, obținem funcția logaritmului zecimal: Este definită pentru toate Gama de valori: . Graficul acestei curbe este adesea numit logaritm [3] . $y=\lg \,x.$ $x>0.$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$

Funcția este monoton crescătoare, continuă și diferențiabilă oriunde este definită. Derivata pentru aceasta este data de formula:

{\frac {d}{dx}}\lg \,x={\frac {\lg \,e}{x}}

Axa y este o asimptotă verticală deoarece: $(x=0)$

\lim _{{x\to 0+0}}\lg \,x=-\infty

Aplicație

Înainte de inventarea calculatoarelor electronice compacte în anii 1970, logaritmii la baza 10 erau utilizați pe scară largă pentru calcule. Ca orice alți logaritmi, au făcut posibilă simplificarea și facilitarea calculelor care consumă mult timp, înlocuind înmulțirea cu adunarea și împărțirea cu scăderea; exponențiarea și extracția rădăcinilor au fost simplificate în mod similar . Dar logaritmii zecimali au avut un avantaj față de logaritmii cu o bază diferită: partea întreagă a logaritmului unui număr ( caracteristica logaritmului ) este ușor de determinat. $X$ $[\lgx]$

Dacă , atunci 1 este mai mic decât numărul de cifre din partea întreagă a . De exemplu, este imediat evident ce este în interval . $x\geqslant 1$ $[\lgx]$ $X$ $\lg 345$ $(2,3)$
Dacă , atunci cel mai apropiat număr întreg de latura mai mică este egal cu numărul total de zerouri din fața primei cifre diferite de zero (inclusiv zero înainte de virgulă zecimală), luate cu semnul minus. De exemplu, este în intervalul . $0<x<1$ $\lgx$ $X$ $\lg 0{,}0014$ $(-3,-2)$

În plus, când mutați un punct zecimal într-un număr cu cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se schimbă în De exemplu: $n$ $n.$

\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3

Rezultă că pentru a calcula logaritmii zecimali este suficient să alcătuiești un tabel de logaritmi pentru numerele din intervalul de la [4] . Astfel de tabele, începând cu secolul al XVII-lea, au fost produse în număr mare și au servit ca instrument de calcul indispensabil pentru oamenii de știință și ingineri. $unu$ $zece$

Deoarece utilizarea logaritmilor pentru calcule odată cu apariția tehnologiei informatice aproape a încetat, astăzi logaritmul zecimal a fost în mare măsură înlocuit cu cel natural [5] . Se păstrează în principal în acele modele matematice în care a prins rădăcini istoric - de exemplu, la construirea scalelor logaritmice .

Logaritmi zecimali pentru numere de forma 5 × 10 C

Număr	Logaritm	Caracteristică	mantisa	Înregistrare
n	log( n )	C	M = lg( n ) − C
5.000.000	6.698 970...	6	0,698 970...	6.698 970...
cincizeci	1.698 970...	unu	0,698 970...	1.698 970...
5	0,698 970...	0	0,698 970...	0,698 970...
0,5	−0,301 029...	−1	0,698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0,698 970...	6.698 970...

Rețineți că toate numerele din tabel au aceeași mantisă deoarece: $n$ $M$

\lg(n)=\lg \left(x\times 10^{C}\right)=\lg(x)+\lg \left(10^{C}\right)=\lg(x )+C

unde este partea semnificativă a numărului . $1<x<10$ $n$

Istorie

Primele tabele de logaritmi zecimali au fost publicate în 1617 de profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs pentru numere de la 1 la 1000, cu opt (mai târziu cu paisprezece) cifre. Prin urmare, în străinătate, logaritmii zecimali sunt adesea numiți brigs . Cu toate acestea, s-au găsit erori în aceste ediții și în edițiile ulterioare ale tabelelor. Prima ediție infailibilă bazată pe tabelele lui Georg Vega ( 1783 ) a apărut abia în 1852 la Berlin ( tabelele lui Bremiker ) [6] .

În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703 cu participarea lui L. F. Magnitsky [7] . Mai multe colecții de tabele de logaritmi au fost publicate în URSS [8] :

Bradis V. M. Tabele matematice cu patru valori. M.: Butarda, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Tabelele Bradis, publicate încă din 1921, au fost folosite în instituțiile de învățământ și în calculele inginerești care nu necesită o mare precizie. Ele conțineau mantise de logaritmi zecimali ai numerelor și funcții trigonometrice , logaritmi naturali și alte câteva instrumente utile de calcul.
Vega G. Tabele de logaritmi cu șapte cifre, ediția a IV-a, M.: Nedra, 1971. Colecție profesională pentru calcule exacte.

Literatură

Teoria logaritmilor

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară . - ed. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . - M . : Nauka, 1973. - 720 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

Istoria logaritmilor

Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Klein F. Matematică elementară dintr-un punct de vedere superior . - M . : Nauka, 1987. - T. I. Aritmetică. Algebră. Analiză. — 432 p.
Matematica secolului al XVII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
Matematica secolului al XVIII-lea // Istoria matematicii / Editat de A.P. Yushkevich , în trei volume. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Uspensky Ya. V. Eseu despre istoria logaritmilor. - Petrograd: Editura științifică, 1923. - 78 p.

Link -uri

Logaritmi zecimali (Brigs). (Engleză)

Note

↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 187..
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 189..
↑ Funcția logaritmică. // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
↑ Matematică elementară, 1976 , p. 94-100.
↑ Klein F. Matematica elementară dintr-un punct de vedere superior, 1987 , p. 406..
↑ Istoria matematicii, volumul II, 1970 , p. 62..
↑ Gnedenko B. V. Eseuri despre istoria matematicii în Rusia, ediția a II-a. - M . : KomKniga, 2005. - S. 66 .. - 296 p. - ISBN 5-484-00123-4 .
↑ Tabele logaritmice // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 1151055638