Rădăcină (matematică)

Acest articol este despre extragerea rădăcinilor . Vezi și Rădăcina ecuației și Rădăcina polinomială .

Rădăcina gradului al-lea $n$ al unui număr este definită [1] ca un număr astfel încât Iată un număr natural , numit exponent al rădăcinii (sau gradul rădăcinii); este de obicei mai mare sau egal cu 2 deoarece cazul nu prezintă interes. $A$ $b$ $b^{n}=a.$ $n$ $n=1$

Notație: Simbolul ( semnul rădăcinii ) din partea dreaptă se numește radical . Numărul ( expresia radicală ) este cel mai adesea real sau complex , dar există și generalizări pentru alte obiecte matematice , cum ar fi reziduuri , matrici și operatori , vezi #Variații și generalizări de mai jos . $b={\sqrt[{n}]{a}},$ $A$

Exemple pentru numere reale:

Rădăcinile gradului 2 al numărului 9 sunt și ambele numere au aceleași pătrate și sunt egale cu 9 $+3$ $-3,$
${\sqrt[{3}]{\ 64}}=4,$ deoarece $4^{3}=64.$
${\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {2}{3)),$ deoarece $\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}.$

După cum puteți vedea din primul exemplu, o rădăcină pară reală poate avea două valori (pozitive și negative), iar acest lucru face dificilă lucrarea cu astfel de rădăcini, nepermițându-le să fie folosite în calcule aritmetice. Pentru a asigura lipsa de ambiguitate se introduce conceptul de rădăcină aritmetică (dintr-un număr real nenegativ), a cărei valoare este întotdeauna nenegativă, în primul exemplu acest număr.În plus, se adoptă un acord conform la care semnul unei rădăcini de grad par dintr-un număr real denotă întotdeauna o rădăcină aritmetică [2] [3] : Dacă se cere să se țină cont de ambiguitatea rădăcinii, se pune un semn plus sau minus în fața radical [2] ; de exemplu, așa se face în formula de rezolvare a unei ecuații pătratice : $3.$ ${\sqrt[{2}]{9}}=3.$ $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Rădăcinile reale pare ale numerelor negative nu există. Este întotdeauna posibil să extrageți o rădăcină de orice grad dintr-un număr complex, dar rezultatul este definit ambiguu - rădăcina a-lea complexă a unui număr diferit de zero are valori diferite (vezi #Rădăcinile numerelor complexe ). $n$ $n$

Operația de extracție a rădăcinilor și algoritmii pentru implementarea acesteia au apărut în vremuri străvechi în legătură cu nevoile practice ale geometriei și astronomiei, vezi #Istorie .

Definiție și concepte aferente

În plus față de cele de mai sus, pot fi date două definiții echivalente ale rădăcinii [4] :

Rădăcina a treia $n$ a numărului este soluția ecuației (rețineți că pot exista mai multe sau nici una). $A$ $X$ $x^n=a$
Rădăcina gradului $n$ al treilea al numărului este rădăcina polinomului , adică valoarea la care polinomul specificat este egal cu zero. $A$ $x^{n}-a,$ $X$

Operația de calcul se numește „ luarea rădăcinii a treia ” a unui număr . Aceasta este una dintre cele două operații care sunt inverse exponențiației [5] , și anume, găsirea bazei gradului de la un exponent cunoscut și rezultatul exponențiării . A doua operație inversă, logaritmul , găsește exponentul având în vedere baza și rezultatul cunoscut. ${\sqrt[{n}]{a))$ $n$ $A$ $b$ $n$ $a=b^{n}$

Rădăcinile gradului al doilea și al treilea sunt folosite în mod deosebit des și, prin urmare, au denumiri speciale [5] .

Rădăcină pătrată : În acest caz, exponentul 2 este de obicei omis, iar termenul „rădăcină” fără a specifica gradul implică cel mai adesea rădăcina pătrată. Din punct de vedere geometric , poate fi interpretat ca lungimea laturii unui pătrat a cărui zonă este egală cu . ${\sqrt {a}).$ ${\sqrt {a}}$ $A$
Rădăcina cubului : Din punct de vedere geometric , aceasta este lungimea muchiei unui cub al cărui volum este . ${\sqrt[{3}]{a}}.$ ${\sqrt[{3}]{a))$ $A$

Rădăcinile numerelor reale

În această secțiune, peste tot - un număr natural, - numere reale. Rădăcina gradului al-lea al unui număr real , în funcție de paritate și semn , poate avea de la 0 la 2 valori reale. $n$ $a,b$ $n$ $A$ $n$ $A$

Proprietăți generale

O rădăcină impară a unui număr pozitiv este un număr pozitiv , determinat în mod unic.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , unde este impar $a,b>0,$ $n$

De exemplu,

{\sqrt[{3}]{125}}=5,\ {\sqrt[{5}]{32}}=2,\ {\sqrt[{15}]{1}}=1

O rădăcină impară a unui număr negativ este un număr negativ care este definit în mod unic.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , unde este impar $a,b<0,$ $n$

De exemplu,

{\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\ {\sqrt[{5}]{-243}}=-3,\ {\sqrt[{7}]{-1}}= -unu

Rădăcina unui grad par a unui număr pozitiv are două valori cu semne opuse, dar egale în valoare absolută.

$\pm {\sqrt[{n}]{a}}=\pm b$ , unde este chiar $a,b>0,$ $n$

De exemplu,

\pm {\sqrt {4}}=\pm 2,\ \ \pm {\sqrt[{4}]{81}}=\pm 3,\ \ \pm {\sqrt[{10}] {1024}}=\pm 2

Rădăcina unui grad par al unui număr negativ nu există în domeniul numerelor reale , deoarece atunci când ridicați orice număr real la o putere cu exponent par, rezultatul va fi un număr nenegativ. Mai jos va fi arătat cum să extrageți astfel de rădăcini într-un sistem mai larg - setul de numere complexe (atunci valorile rădăcinii vor fi numere complexe). $n$

${\sqrt[{n}]{a))$ nu există în domeniul numerelor reale , dacă - par $a<0,$ $n$

Rădăcina oricărei puteri naturale a lui zero este zero.

${\sqrt[{n}]{0}}=0$

Avertisment

După cum am menționat mai sus: „O rădăcină de grad par a unui număr negativ nu există în domeniul numerelor reale ”. Mai mult, o astfel de rădăcină există în regiunea numerelor complexe . Prin urmare, trebuie să ne gândim întotdeauna în ce sistem numeric (numere reale sau complexe) extragem rădăcina.

Exemplu. În domeniul numerelor reale, rădăcina pătrată a lui nu există. $-9$
Exemplu. În domeniul numerelor complexe, rădăcina pătrată a lui is $-9$ $\pm 3i.$

Rădăcină aritmetică

S-a spus deja mai sus că rădăcinile unui grad par sunt definite, în general vorbind, în mod ambiguu, iar acest fapt creează inconvenient la folosirea lor. Prin urmare, a fost introdusă o limitare practic importantă a acestui concept [6] .

Rădăcina aritmetică a gradului $n$ al treilea al unui număr real nenegativ este un număr nenegativ pentru care rădăcina aritmetică este notată cu semnul radical . $A$ $b$ $b^{n}=a.$

Astfel, rădăcina aritmetică, spre deosebire de rădăcina unei forme generale ( algebrică ), este definită numai pentru numere reale nenegative, iar valoarea ei există întotdeauna, în mod unic [7] și nenegativ. De exemplu, rădăcina pătrată a unui număr are două valori: și , dintre care prima este aritmetică. $patru$ $2$ $-2$

Proprietăți algebrice

Formulele date mai jos sunt corecte, în primul rând, pentru rădăcinile aritmetice de orice grad (cu excepția cazurilor speciale). Sunt valabile și pentru rădăcinile de grad impar, care au și expresii radicale negative [8] .

Anularea reciprocă a rădăcinii și a gradului: [9]
- pentru ciudat : , $n$ ${\sqrt[{n}]{a^{n)}}=a$
- pentru chiar : $n$ ${\color {albastru}{\sqrt[{\color {negru}n}]{\color {negru}{a^{n))}}=|a|$
Dacă , atunci și $a<b$ ${\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\culoare {negru}{a))))<{\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n} ]{\culoare {negru}{b))))$

Rădăcina produsului este egală cu produsul rădăcinilor factorilor:

${\color {albastru}{\sqrt[{\color {negru}n}]{\color {negru}{ab))))={\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n} ]{\culoare {negru}{a)))){\color {albastru}{\sqrt[{\color {negru}n}]{\culoare {negru}{b))))$

La fel pentru diviziune:

${\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\culoare {negru}{\frac {a}{b))))}={\frac {\culoare {albastru}{\ sqrt[{\color {negru}n}]{\color {negru}{a)))){\color {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\color {negru}{b }}}}}},\;b\neq 0$

Următoarea egalitate este definiția ridicării la o putere fracțională [10] :

$a^{m/n}={\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\culoare {negru}{a^{m)))}=\left({\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\culoare {negru}{a))))\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^ {m}$

Valoarea rădăcinii nu se va schimba dacă indicele ei și gradul expresiei radicalului sunt împărțite la același număr (factorul exponentului și exponentul expresiei radicalului):

${\color {albastru}{\sqrt[{\color {negru}nk}]{\color {negru}{a^{mk)))}}={\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare { negru}n}]{\color {negru}{a^{m))))},\;n,k\in \mathbb {N} .$ Exemplu: ${\color {albastru}{\sqrt[{\color {negru}6}]{\color {negru}{64))))={\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}{2 \cdot 3}}]{\color {negru}{4^{3}}}}}={\culoare {albastru}{\sqrt {\culoare {negru}{4}}}}=2$
${\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\color {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}k}]{\culoare {negru}{a)))) ))={\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}nk}]{\culoare {negru}{a)))),\;n,k\in \mathbb {N}$

Pentru rădăcinile de grad impar, indicăm o proprietate suplimentară:

${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}$

Extragerea unei rădăcini și ridicarea la o putere fracțională

Operația de exponențiere a fost introdusă inițial ca abreviere pentru operația de înmulțire a numerelor naturale: . Următorul pas a fost definirea exponențiației la un număr întreg arbitrar, inclusiv putere negativă: $m^{n}={\color {Gray}\underbrace {\color {Negru}m\cdot m\cdot \dots \cdot m} _{\color {Negru}n))$ $m^{-n}={\frac {1}{m^{n)}}.$

Operația de extragere a unei rădăcini aritmetice vă permite să definiți ridicarea unui număr pozitiv la orice putere rațională (fracțională) [10] :

a^{\frac {m}{n}}={\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\culoare {negru}{a^{m))))},

a>0

În acest caz, numărătorul unei fracții poate avea un semn. Proprietățile operației extinse sunt practic aceleași cu creșterea la o putere întreagă. $m$ ${\frac {m}{n}}$

Această definiție înseamnă că extragerea unei rădăcini și exponentiația ei inversă sunt de fapt combinate într-o singură operație algebrică. În special:

{\color {albastru}{\sqrt[{\color {negru}n}]{\color {negru}{a))))=a^{\frac {1}{n)}

Încercările de a ridica numerele negative la o putere rațională pot duce la erori, deoarece valoarea rădăcinii algebrice este ambiguă, iar intervalul rădăcinii aritmetice este limitată la numere nenegative. Un exemplu de posibilă eroare:

-1=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({(-1)^{2}}\right)^{\frac {1}{ 2))=1^{\frac {1}{2))={\culoare {albastru}{\sqrt {\culoare {negru}1))}=1

Funcția rădăcină

Grafice ale funcțiilor rădăcină
Funcțiile rădăcină și funcțiile de putere sunt inverse față de ele pe un interval $[0;\ 1]$
Funcții rădăcină:
- aritmetică, puteri pare 2, 4, 6
- puteri comune, impare 3, 5, 7

Dacă considerăm expresia rădăcină ca o variabilă, obținem funcția rădăcină de gradul al-lea: . Funcția rădăcină aparține categoriei funcțiilor algebrice . Graficul oricărei funcții rădăcină trece prin origine și punctul . $n$ $y={\sqrt[{n}]{x}}$ $(unsprezece)$

După cum sa menționat mai sus, pentru o rădăcină pară, pentru a se asigura că funcția este unică, rădăcina trebuie să fie aritmetică, astfel încât argumentul să nu fie negativ. Funcția rădăcină a unui grad impar este cu o singură valoare și există pentru orice valoare reală a argumentului. $X$

Tipul funcției rădăcină	Domeniu	Gama de valori	Alte proprietăți
Chiar și gradul	$[0;\ +\infty )$	$[0;\ +\infty )$	Funcția este convexă în sus pe întregul domeniu de definiție
grad impar	$(-\infty ;+\infty )$	$(-\infty ;+\infty )$	Funcția este ciudată

Pentru orice grad, funcția rădăcină este strict crescătoare, continuă peste tot în domeniul său de definire. Diferențiabil nemărginit peste tot, cu excepția originii, unde derivata merge la infinit [11] [12] . Derivata este determinata de formula [13] :

{\frac {d}{dx}}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}} }

. În special, .

{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

Funcția este integrabilă fără restricții pe întregul domeniu de definiție. Integrala nedefinită este căutată prin formula:

\int {\sqrt[{n}]{x}}\;dx={\frac {\sqrt[{n}]{x^{n+1}}}{1+{\frac {1}{n }}}}+C

. În special, , unde este o constantă arbitrară.

\int {\sqrt {x}}\;dx={\frac {2{\sqrt {x^{3}}}}{3}}+C

C

Diferentabilitatea și integrabilitatea nelimitate a unei funcții

Formula pentru găsirea derivatei de ordinul al-lea $k$ [14] a funcției : ${\sqrt[{n}]{x}}$

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}=(-1)^{k}{\frac {\prod _{m=0 }^{k-1}(mn-1)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}$
Unde $\ k,n\in \mathbb {N} ,\ x\neq 0$

Formula pentru găsirea integralei nedefinite [15] a funcției : $k$ ${\sqrt[{n}]{x}}$

$\underbrace {\int \cdots \int } _{k}{\sqrt[{n}]{x}}\ \underbrace {dx\cdots dx} _{k}={\frac {{n^{k} }{\sqrt[{n}]{x^{kn+1)))){\prod _{m=1}^{k}(1+mn)))+C$
Unde $k,n\in \mathbb {N} ,\ C=const$

Părțile corecte ale formulelor sunt expresii algebrice care există întotdeauna, cu natural . De aici și stânga.

k

Raporturi limită

Iată câteva limite utile care conțin rădăcini [16] .

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\ln n}}=1

\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\ frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)=\ln x

\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt[{n}]{(x+1)^{m}}}-1}{x}}={\frac {m}{n} }

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {{\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}{2}}\right) ^{n}={\sqrt {ab}}

Calculul practic al rădăcinilor

Funcția de calculare a rădăcinilor pătrate și cubice este furnizată în multe calculatoare; de exemplu, calculatorul Windows afișează butoanele corespunzătoare în modul „Inginerie” (științific). Dacă există o tastă de exponențiere pe calculatorul electronic: atunci pentru a extrage rădăcina din numărul curent, trebuie să apăsați următoarele taste [17] . $y^{x},$

y^{x}

Obțineți exponentul rădăcină apasa un buton

1/x

apasa un buton

=

Pentru calculul manual, puteți utiliza metoda convergentă rapidă descrisă în articolul „ Algoritm pentru găsirea rădăcinii gradului al n-lea ”. Pentru puteri peste treime, identitatea logaritmică poate fi utilizată :

{\sqrt[{n}]{x}}=a^{\frac {\log _{a}(x)}{n}}=e^{\frac {\ln(x)}{ n}}

Pentru a extrage rădăcina, trebuie să găsiți logaritmul expresiei rădăcinii, să împărțiți la puterea rădăcinii și să găsiți antilogaritmul rezultatului.

Rădăcinile numerelor complexe

Originea conceptului de număr complex a fost asociată istoric cu dorința de a „legaliza” rădăcinile pătrate ale numerelor negative. Pe măsură ce a devenit clar, numerele complexe au proprietăți algebrice și analitice bogate ; în special, extragerea rădăcinilor din ele este întotdeauna posibilă, deși ambiguu. Pentru rădăcinile dintr-un domeniu complex , semnul radical fie nu este folosit, fie denotă nu funcția rădăcină, ci mulțimea tuturor rădăcinilor; în acest din urmă caz, pentru a evita erorile, semnul radical nu trebuie folosit în operațiile aritmetice. Un exemplu de posibilă eroare:

-1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1

(ceea ce desigur nu este adevărat)

Eroarea a apărut deoarece rădăcina pătrată non-aritmetică este o funcție cu mai multe valori și nu poate fi utilizată în aritmetică.

Modalități de a găsi

Să scriem un număr complex în formă trigonometrică : $z$

z=r\left(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi }\right)

Apoi rădăcinile gradului al treilea de sunt determinate prin formula De Moivre (forma trigonometrică) [18] : $n$ $z$

{\sqrt[{n}]{z}}={\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\culoare {negru}{r}}}}\left(\cos { \frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\;k=0,1,\dots , n-1

sau sub formă exponențială :

z=re^{i\varphi }

{\sqrt[{n}]{z}}={\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\culoare {negru}{r}}}}e^{\left( i{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)},\;k=0,1,\dots ,n-1

Notaţie

$z=x+iy,\z\in \mathbb {C}$ (număr complex), (partea reală a unui număr complex), (partea imaginară a unui număr complex), - unitate imaginară , (modulul unui număr complex), (argumentul unui număr complex), - baza logaritmului natural .
$x=\operatorname {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operatorname {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\culoare {albastru}{\sqrt {\culoare {negru}{x^{2}+y^{2))))}$
$\varphi =\operatorname {arg} z=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x))$
$e$

Rădăcina de putere a unui număr complex diferit de zero are valori (aceasta este o consecință a teoremei fundamentale a algebrei ) și toate sunt distincte. Valoarea rădăcinii obținute cu este adesea numită principală . $n$ $n$ $k=0$

Deoarece modulul este același pentru toate valorile rădăcinii (este definit ca rădăcina aritmetică a modulului numărului complex original) și numai argumentul său se modifică , toate valorile rădăcinii sunt situate pe planul complex pe un cerc de rază centrat la origine. Rădăcinile împart acest cerc în părți egale. $n$ ${\culoare {albastru}{\sqrt[{\culoare {negru}n}]{\culoare {negru}{r))))$ $n$

Exemple

Să găsim . Deoarece conform formulei obținem: ${\sqrt {-4}}$ $-4=4(\cos {\pi }+i\sin {\pi }),$

{\sqrt {-4}}=2\left(\cos {\frac {\pi +2\pi k}{2}}+i\sin {\frac {\pi +2\pi k}{2} }\dreapta),\;k=0,1

Când obținem prima rădăcină , când obținem a doua rădăcină $k=0$ $2i$ $k=1$ $(-2i).$

Un alt exemplu: găsiți . Să reprezentăm expresia radicală în formă trigonometrică: ${\sqrt[{4}]{-16}}$

-16=16\ (\cos(\pi +2k\pi )+i\sin(\pi +2k\pi ))

Conform formulei Moivre, obținem:

z_{k}={\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt[{4}]{16}}\left(\cos {\frac {\pi +2k\pi }{4} }+i\sin {\frac {\pi +2k\pi }{4}}\dreapta)

Ca rezultat, avem patru valori rădăcină [19] :

z_{0}=2\left(\cos {\frac {\pi }{4))+i\sin {\frac {\pi }{4))\right)={\sqrt {2))\ ( 1+i)

z_{1}=2\left(\cos {\frac {3\pi }{4}}+i\sin {\frac {3\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \ (-1+i)

z_{2}=2\left(\cos {\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2} }\ (1+i)

z_{3}=2\left(\cos {\frac {7\pi }{4}}+i\sin {\frac {7\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}} \(1-i)

Puteți scrie răspunsul rezumat ca: ${\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt {2}}\ (\pm 1\pm i)$

Funcția rădăcină complexă și suprafața Riemann

Luați în considerare funcția complexă a rădăcinii gradului al-lea: Conform celor spuse mai sus, această funcție este o funcție multivalorică (mai precis, -valorică), iar acest lucru creează inconveniente în studiul și aplicarea ei. În analiza complexă , în loc să se ia în considerare funcțiile cu mai multe valori pe plan complex , s-a luat o decizie diferită: să se considere funcția ca fiind cu o singură valoare, dar definită nu în plan, ci pe o varietate mai complexă , care se numește Riemann. suprafata [20] . $n$ $w={\sqrt[{n}]{z}}.$ $n$

Suprafața Riemann pentru rădăcină pătrată complexă
Suprafata Riemann pentru radacina complexa de gradul 4

Pentru o funcție complexă de rădăcină de gradul al treilea, suprafața sa Riemann (vezi figurile) constă din ramuri ( foi ) conectate în mod elicoidal, cu ultima frunză conectată la prima. Această suprafață este continuă și simplu conectată . Una dintre foi conține principalele valori ale rădăcinii obținute ca continuare analitică a rădăcinii reale din raza pozitivă a axei reale. $n$ $n$

Pentru simplitate, descriem funcția complexă a rădăcinii pătrate. Suprafața sa Riemann este formată din două foi. Prima foaie poate fi reprezentată ca un plan complex cu o rază pozitivă a axei reale decupate. Valorile funcției rădăcină de pe această frunză au jumătate din argumentul lui , și astfel umplu partea superioară a planului de valori complex. Pe tăietură, prima foaie este lipită de a doua, iar funcția continuă continuu prin tăiere până la a doua foaie, unde valorile sale umplu partea inferioară a planului de valori complex. Începutul liber rămas al primei foi și sfârșitul celei de-a doua sunt, de asemenea, lipiți împreună, după care funcția rezultată pe suprafața Riemann devine monovalorică și peste tot continuă [20] . $w$ $z$

Singurul zero al funcției (de ordinul întâi) se obține la . Puncte singulare: și (puncte de ramificare de ordine infinită) [20] . Conceptul de punct de ramificare înseamnă că un contur închis în vecinătatea lui zero conține inevitabil o tranziție de la frunză la frunză. $z=0$ $z=0$ $z=\infty$

În virtutea faptului că este pur și simplu conectată, suprafața Riemann a rădăcinii este o acoperire universală [21] pentru planul complex fără punct . $0$

Variații și generalizări

Rădăcina a treia a este o soluție a ecuației și, în principiu, poate fi definită peste tot acolo unde o astfel de ecuație are sens. Cel mai adesea, astfel de generalizări sunt considerate în inele algebrice . Rădăcinile pătrate generalizate sunt cele mai bine studiate. $n$ $A$ $x^n=a$

Dacă inelul este un domeniu de integritate , atunci poate exista fie două, fie nici una dintre rădăcinile pătrate ale unui element diferit de zero. Într-adevăr, dacă există două rădăcini , atunci de unde: , adică din cauza absenței divizorilor zero , . Mai general, atunci când inelul are divizori zero sau este necomutativ , poate exista orice număr de rădăcini. $a, b,$ $a^{2}=b^{2},$ $(ab)(a+b)=0$ $a=\pm b$

În teoria numerelor , se consideră un inel finit de resturi modulo : dacă comparația are o soluție, atunci întregul se numește un rest de grad n (în caz contrar, un non- restuu de grad n ). Soluția , dacă există, este analogul complet al rădăcinii a n- a a unui număr întreg . Cele mai frecvent utilizate cazuri sunt [22] : $m$ $x^{n}\equiv a{\pmod {m)}$ $A$ $X$ $A$

$n=2$ ( reziduuri pătratice )
$n=3$ (deduceri cubice)
$n=4$ (reziduuri biquadratice)

Rădăcinile pentru cuaternioni au multe în comun cu cele complexe, dar există și caracteristici semnificative. Rădăcina cuaternionului pătrat are de obicei 2 valori, dar dacă expresia rădăcinii este un număr real negativ, atunci există infinite de valori. De exemplu, rădăcinile pătrate ale formează o sferă tridimensională definită prin formula [23] : $-unu$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}\,.

Pentru inelul de matrice pătrate , se demonstrează că dacă matricea este definită pozitivă , atunci rădăcina pătrată definită pozitivă a matricei există și este unică [24] . Pentru matrice de alte tipuri, poate exista orice număr de rădăcini (inclusiv niciuna).

Rădăcinile pătrate sunt introduse și pentru funcții [25] , operatori [26] și alte obiecte matematice.

Istorie

Dezvoltarea conceptului

Primele probleme legate de extragerea rădăcinii pătrate au fost găsite în lucrările matematicienilor babilonieni (nu se știe nimic despre realizările Egiptului antic în acest sens). Printre astfel de sarcini [27] :

Aplicarea teoremei lui Pitagora pentru a găsi latura unui triunghi dreptunghic având în vedere celelalte două laturi cunoscute.
Aflarea laturii unui pătrat a cărui arie este dată.
Rezolvarea ecuațiilor pătratice .

Matematicienii babilonieni (mileniul II î.Hr.) au dezvoltat o metodă numerică specială pentru extragerea rădăcinii pătrate. Aproximația inițială pentru a fost calculată pe baza numărului natural cel mai apropiat de rădăcină (în jos) . Reprezentând expresia radicală sub forma: , se obține: , apoi s-a aplicat un proces iterativ de rafinare, corespunzător metodei lui Newton [28] : ${\sqrt {a}}$ $n$ $a=n^{2}+r$ $x_{0}=n+{\frac {r}{2n)}$

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

Iterațiile din această metodă converg foarte repede. Pentru , de exemplu, și obținem o succesiune de aproximări: ${\sqrt {5}}$ $a=5;\;n=2;\;r=1;\x_{0}={\frac {9}{4))=2{,}25,$

x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779

În valoarea finală, toate cifrele sunt corecte, cu excepția ultimei.

Probleme și metode similare se găsesc în vechiul chinez „ Matematica în nouă cărți ” [29] . Grecii antici au făcut o descoperire importantă: - un număr irațional . Un studiu detaliat al lui Theaetetus din Atena (sec. IV î.Hr.) a arătat că dacă rădăcina unui număr natural nu este extrasă complet, atunci valoarea lui este irațională [30] . ${\sqrt {2}}$

Grecii au formulat problema dublării cubului , care s-a rezumat la construirea unei rădăcini de cub folosind o busolă și o linie dreaptă . Problema s-a dovedit a fi insolubilă. Algoritmi numerici pentru extragerea rădăcinii cubice au fost publicati de Heron (în tratatul „ Metric ”, secolul I d.Hr.) și matematicianul indian Aryabhata I (sec. V) [31] .

Algoritmii pentru extragerea rădăcinilor de orice grad dintr-un număr întreg, dezvoltați de matematicieni indieni și islamici , au fost îmbunătățiți în Europa medievală. Nicholas Orem (sec. XIV) a fost primul care a interpretat [32] rădăcina gradului al-lea ca exponențiere . $n$ ${\frac {1}{n}}$

După apariția formulei Cardano (secolul al XVI-lea), a început utilizarea numerelor imaginare în matematică , înțelese ca rădăcini pătrate ale numerelor negative [33] . Bazele lucrului cu numere complexe au fost dezvoltate în secolul al XVI-lea de Rafael Bombelli , care a propus și o metodă originală pentru calcularea rădăcinilor (folosind fracții continue ). Descoperirea formulei Moivre (1707) a arătat că extragerea unei rădăcini de orice grad dintr-un număr complex este întotdeauna posibilă și nu duce la un nou tip de numere [34] .

Rădăcinile complexe de grad arbitrar au fost studiate în profunzime de Gauss la începutul secolului al XIX-lea , deși primele rezultate se datorează lui Euler [35] . O descoperire extrem de importantă ( Galois ) a fost dovada faptului că nu toate numerele algebrice (rădăcinile polinoamelor) pot fi obținute din numere naturale folosind patru operații de extracție aritmetică și rădăcină [36] .

Etimologia termenului și originea simbolismului

Termenul rădăcină are o istorie lungă și complicată. Grecii antici au înțeles extragerea rădăcinii pătrate strict geometric: ca găsirea laturii pătratului după aria sa cunoscută. După ce a fost tradus în sanscrită , cuvântul grecesc pentru „parte” a devenit „ mula ” (bază). Cuvântul „ mula ” a avut și semnificația „rădăcină”, așa că atunci când a tradus siddhantas indieni în arabă, a fost folosit termenul „ jizr ” (rădăcină de plantă). Ulterior, cuvântul „ radix ” , similar ca înțeles , a fost fixat în traducerile latine din arabă, iar prin ele în terminologia matematică rusă („rădăcină”, „radical”) [37] .

Matematicienii medievali (de exemplu, Cardano ) au indicat rădăcina pătrată [38] cu simbolul R x , o abreviere pentru cuvântul „radix”. Notația modernă a fost folosită pentru prima dată de matematicianul german Christoph Rudolf , de la școala cosiștilor (adică algebriști), în 1525 [39] . Acest simbol provine din prima literă stilizată a aceluiași cuvânt „ radix ”. Linia de deasupra expresiei radicale a lipsit la început; a fost introdus ulterior de Descartes (1637) într-un alt scop (în loc de paranteze), iar această trăsătură a fuzionat curând cu semnul rădăcinii.

Exponentul a apărut în semnul rădăcinii datorită „ Aritmeticii universale ” a lui Wallis și Newton (sec. XVIII) [40] .

Vezi și

Literatură

Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară . - ed. 25. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matematică elementară. Repetă cursul. - Ediția a treia, stereotipă. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.
Istoria matematicii, în trei volume / Editat de A. P. Yushkevich . - M. : Nauka, 1970-1972.
Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . - Ed. a II-a. — M .: Nauka, 1970. — 720 p.
Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei. Manual pentru clasele 10-11, partea 1. - ed. al 4-lea. — M .: Mnemozina, 2003. — 376 p.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Fikhtengol's G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. — M .: Nauka, 1966. — 680 p.

Note

↑ Rădăcină // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Matematică elementară, 1976 , p. 49.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1970 , p. 33.
↑ Skanavi M. I. Matematică elementară. P. 1.11. S. 49.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 64.
↑ Rădăcină aritmetică // Enciclopedie matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 1.
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , T. I, S. 35-36.
↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 141-143.
↑ Algebra și începutul analizei. Manual pentru clasele 10-11, ed. A. N. Kolmogorova. M.: Iluminismul, 2002, S. 209.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Manual de matematică elementară, 1978 , p. 183.
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , T. I, S. 194, 198.
↑ Mordkovich A. G., 2003 , p. 236-238.
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , T. I, S. 215.
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , T. I, S. 233, caz special pentru . $\mu ={\frac {1}{n}}.$
↑ A nu se confunda cu integralele multiple . Notațiile lor sunt destul de asemănătoare, dar integrala -a este nedefinită , în timp ce integrala -fold este definită . $k$ $k$
↑ Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral, 1966 , Volumul I, p. 67, 131-132, 164, 166-167.
↑ Algebră. Clasa a 9-a Manual pentru instituții de învățământ / Ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. al 18-lea. - M . : Educație, 2011. - S. 53. - ISBN 978-5-09-025168-6 .
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1970 , p. 36-37.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Matematică elementară. Repetă cursul. - ediția a treia, stereotipă. - M. : Nauka, 1976. - S. 68. - 591 p.
↑ 1 2 3 Sveșnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe, 1967 , p. 96-99, 28-29.
↑ Boltyansky V. G. , Efremovici V. A. Topologie vizuală . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Biblioteca Quantum, numărul 21).
↑ Vinogradov I. M. Fundamentele teoriei numerelor . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 71. - 180 p.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebras and the Classical Groups. Cambridge, 1995, pagina 60.
↑ Vezi, de exemplu: Gantmakher F. R. Theory of Matrices. Moscova: GITTL, 1953, p. 212-219, sau: V. Voevodin, V. Voevodin.Encyclopedia of Linear Algebra. Sistem electronic LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.
↑ Vezi, de exemplu: Ershov L. V., Raikhmist R. B. Construcția graficelor de funcții. M .: Educaţie, 1984, sau: Kaplan I. A. Clase practice de matematică superioară. Harkov: Editura KhGU, 1966.
↑ Vezi, de exemplu: Hutson W., Pim J. Applications of functional analysis and operator theory. M.: Mir, 1983, sau: Halmosh P. Hilbert spațiul în probleme. M.: Mir, 1970.
↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, pp. 42-46.
↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, S. 47.
↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, pp. 169-171.
↑ Bashmakova I. G. Formarea algebrei (din istoria ideilor matematice). - M . : Knowledge, 1979. - P. 23. - (Nou în viață, știință, tehnologie. Matematică, cibernetică, Nr. 9).
↑ Abhishek Parakh. Metodele de extracție a rădăcinilor lui Ariabhata // Indian Journal of History of Science. - 2007. - Emisiune. 42.2 . - S. 149-161 . Arhivat din original pe 9 iunie 2010.
↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, pp. 275-276.
↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul I, pp. 296-298.
↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul III, pp. 56-59.
↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Volumul III, S. 62.
↑ Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (ed.). Matematica secolului al XIX-lea. Logica matematica, algebra, teoria numerelor, teoria probabilitatii. - M. : Nauka, 1978. - T. I. - S. 58-66.
↑ Istoria matematicii, 1970-1972 , Vol. I, p. 185.
↑ Nikiforovsky V. A. Din istoria algebrei secolelor XVI-XVII. - M. : Nauka, 1979. - S. 81. - 208 p. — (Istoria științei și tehnologiei).
↑ Semne matematice // Mathematical Encyclopedia . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 2.
↑ Alexandrova N. V. Istoria termenilor matematici, concepte, notație: Dicționar-carte de referință, ed. al 3-lea . - Sankt Petersburg. : LKI, 2008. - S. 82 . — 248 p. - ISBN 978-5-382-00839-4 .