Diagrama tânără

Diagramele tinere  sunt o modalitate vizuală de a descrie reprezentări ale grupurilor liniare simetrice și complete și de a studia proprietățile acestora.

Istorie

Diagramele tinere au fost propuse de Alfred Jung , un matematician la Universitatea din Cambridge , în 1900 [1] [2] . Ulterior, în 1903, au fost folosite de Georg Frobenius pentru a studia grupurile simetrice.

Dezvoltarea ulterioară a diagramelor Young poate fi urmărită în lucrările a numeroși matematicieni precum Percy McMahon , William Hodge , Gilbert Robinson , Jean-Carlo Rota , Alain Lascou și Marcel-Paul Schutzenberger .

Definiții

Notă: acest articol folosește notația engleză pentru diagrame și tabele .

Diagrame

O diagramă Young (numită și diagramă Ferret atunci când sunt utilizate puncte [3] în loc de celule ) este un set finit de celule justificate la stânga sau celule în care lungimile rândurilor formează o secvență necrescătoare (fiecare rând are aceeași lungime cu precedentul sau mai scurt). Mulțimea numerelor, constând din lungimile liniilor, definește o partiție λ a unui număr întreg nenegativ n , care este egal cu numărul total de celule din diagramă. În mod similar, se spune că o partiție dată λ dă forma diagramei Young corespunzătoare.

Includerea unei diagrame Young în alta definește o ordine parțială pe mulțimea tuturor partițiilor, care, la rândul său, definește o structură numită zăbrele Young .

Partiția dată de diagrama Young transpusă se numește conjugat de partiție sau transpusă în λ .

Despre notația franceză a diagramelor Young

Este obișnuit să se desemneze celule folosind o pereche de numere întregi, dintre care primul corespunde numărului rândului din diagramă, iar al doilea numărului coloanei din acel rând. Cu toate acestea, există două convenții diferite pentru modul în care ar trebui să fie desenate diagramele: fie rândurile de sub cel precedent, fie invers. Primul este folosit în mod obișnuit în rândul vorbitorilor de engleză , în timp ce cel de-al doilea în rândul vorbitorilor de franceză , așa că în terminologia glumei aceste convenții sunt numite notație engleză și , respectiv, notație franceză . De exemplu, în cartea sa despre funcțiile simetrice , Macdonald recomandă cititorilor care preferă notația franceză „să citească cartea cu susul în jos într-o oglindă” [4] .

Notația engleză corespunde celei general acceptate pentru numerotarea elementelor matriceale, iar cea franceză este mai apropiată de convenția privind notarea coordonatelor carteziene (deși pentru diagramele Young, coordonata verticală este încă prima). Figura din dreapta în notație engleză ilustrează diagrama Young a partiției (5, 4, 1). Partiția conjugată care măsoară înălțimile coloanei este (3, 2, 2, 2, 1).

Tabelele

Un tablou Young este o diagramă Young ale cărei celule sunt umplute cu simboluri dintr-un anumit alfabet , care se presupune de obicei a fi un set bine ordonat . Inițial, alfabetul trebuia să fie un set de variabile numerotate x 1 , x 2 , x 3 ..., dar acum, pentru concizie, numerele naturale sunt mai des folosite. În aplicația lor clasică la teoria reprezentării grupurilor simetrice , tabelele lui Young sunt umplute cu n numere diferite, înscrise în mod arbitrar în celulele diagramei. Un tabel se numește standard dacă numerele cresc în fiecare rând și în fiecare coloană. Numărul de tablouri Young standard diferite cu n elemente este descris de numărul de involuții din grupul simetric de ordin n :

1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, ... (secvența A000085 în OEIS ).

În alte aplicații, poate fi firesc să permiteți unor numere să se repete (și să nu le folosiți deloc). Un tabel se numește semi -standard dacă numerele nu scad pe orizontală și cresc pe verticală. Scriind de câte ori a apărut fiecare număr în tabel, obținem o secvență cunoscută sub numele de greutatea tabelului. Prin urmare, tabelele standard Young sunt exact aceleași cu tabelele de greutate semi-standard (1,1,…,1).

Variante

Există variații în ceea ce privește definiția tabelului: de exemplu, într-un tabel „strict pe rând”, numerele cresc strict de-a lungul rândurilor și nu cresc de-a lungul coloanelor. Tabelele cu numere descrescătoare sunt tratate în teoria partițiilor plane . Există și alte generalizări (tablouri de domino, tablouri de panglică) în care celulele pot fi combinate înainte de a li se atribuie numere.

Tabelele înclinate ale lui Young

O formă oblică  este o pereche de partiții ( λ , μ ) astfel încât diagrama Young pentru λ conține diagrama pentru μ ; notație: λ / μ . Dacă λ =( λ 1 , λ 2 ,…) și μ =( μ 1 , μ 2 ,…), atunci diagramele de încorporare înseamnă că μ i ≤ λ i pentru tot i . Diagrama de distorsiune a formei oblice λ / μ  este diferența teoretică de mulțimi a diagramelor pentru λ și pentru μ : mulțimea de pătrate care aparțin diagramei pentru λ dar nu aparțin diagramei pentru μ . Un tabel de distorsiuni de forma λ / μ se obține prin completarea celulelor diagramei de distorsiuni corespunzătoare; un astfel de tabel se numește semistandard dacă numerele nu scad în rânduri și cresc în coloane; un tablou semistandard se numește standard dacă fiecare număr de la unu la numărul de celule apare exact o dată. În timp ce maparea de la partiții la diagramele lor Young este injectivă, nu același lucru este valabil și pentru maparea de la formele de distorsiuni la diagramele de distorsiuni; [5] Deși multe proprietăți ale tabelelor de deformare depind doar de pătratele umplute, unele pot depinde și de forma de declinare. Tablourile tinere pot fi identificate cu tablouri oblice pentru care țiglarea μ este goală (tiling-ul de zero).

Orice tablou semistandard T oblic de forma λ / μ , umplut cu numere întregi pozitive, generează o secvență de partiții (sau o secvență de diagrame Young): primul element este μ , iar al i -lea element este obținut prin adăugarea tuturor celulelor care conțin un număr mai mic sau egal cu i ; eventual se obţine o diagramă λ . Orice pereche de forme adiacente din această secvență formează o formă oblică cu cel mult o celulă în fiecare coloană; astfel de forme se numesc dungi orizontale . Această secvență definește complet tabloul T și uneori în literatură (de exemplu, în cartea lui Macdonald) formele semistandard oblice sunt definite ca secvențe de acest fel.

Aplicații

Diagramele tinere au numeroase aplicații în combinatorică , teoria reprezentării și geometria algebrică . Au fost explorate diferite moduri de numărare a numărului de diagrame, ceea ce a condus la definirea și formulele pentru polinoamele Schur . Există mulți algoritmi cunoscuți care rulează direct pe diagrame, cum ar fi jeu de taquin al lui Schützenberger („jocul de etichete”) și corespondența Robinson-Schoensted-Knuth . Lasko și Schützenberger au studiat produsul asociativ pe un set de diagrame Young semistandard, rezultând o structură cunoscută sub numele de monoidul plactic .

În teoria reprezentării, tablourile Young standard de mărime k descriu bazele reprezentărilor ireductibile ale grupului simetric S k . Baza monomială standard într-o reprezentare ireductibilă cu dimensiuni finite a grupului liniar general GL n este parametrizată de setul de tablouri Young semistandard de formă fixă ​​peste alfabetul {1, 2, …, n }. Mai multe implicații importante pentru teoria invariante decurg din acest fapt , începând cu lucrările lui Hodge privind inelele de coordonate omogene ale Grassmannienilor , urmate de lucrările lui Eisenbud și Jean-Carlo Rota , împreună cu coautorii de Concini și Procesi . Regula Littlewood-Richardson , care descrie (printre altele) descompunerea produsului tensor al reprezentărilor ireductibile ale GL n în componente ireductibile, este formulată în termenii anumitor tabele semistandard oblice.

Aplicațiile în geometria algebrică se centrează în jurul calculului Schubert pe Grassmannieni și varietățile steag . Unele clase importante de coomologie pot fi reprezentate în termeni de polinoame Schubert și descrise în termeni de diagrame Young.

Aplicații în teoria reprezentării

Diagramele tinere sunt într-o corespondență unu-la-unu cu reprezentările ireductibile ale grupului simetric (peste numerele complexe ). Ele oferă o modalitate convenabilă de a defini simetrizatorii lui Young , pe care este construită teoria reprezentării grupului simetric . Multe fapte despre reprezentări pot fi deduse din diagramele corespunzătoare. Mai jos sunt două exemple: dimensionarea vizualizării și vizualizările limitate.

Diagramele tinere parametriză, de asemenea, reprezentări polinomiale ireductibile ale grupului liniar complet GL n (când conțin cel mult n rânduri nevide), precum și reprezentări ireductibile ale grupului liniar special SL n (când conțin cel mult n − 1 non- rânduri goale) și reprezentări complexe ireductibile ale grupurilor nSU (din nou, când conțin cel mult n − 1 șiruri nevide). În aceste cazuri, rolul central îl au tabelele semistandard cu numere care nu depășesc n (în special, numărul lor determină dimensiunea reprezentărilor).

Formula de cârlig

Dimensiunea reprezentării ireductibile π λ (corespunzătoare partiției λ a numărului n ) a grupului simetric S n este egală cu numărul de tablouri Young standard diferite corespunzătoare diagramei de partiții. Acest număr poate fi calculat folosind formula cârlig .

Lungimea cârligului ( x ) al celulei x din diagrama Y ( λ ) de forma λ este numărul de celule din același rând din dreapta plus numărul de celule din aceeași coloană de mai jos plus unu (celula însăși) . Conform formulei cârlig, dimensiunea reprezentării ireductibile este n ! împărțit la produsul lungimilor tuturor cârligelor din diagramă:

Figura din dreapta ilustrează lungimile cârligului pentru diagrama de partiție 10 = 5 + 4 + 1. Prin urmare

În mod similar, dimensiunea reprezentării ireductibile W ( λ ) a grupului GL r corespunzătoare partiției λ a numărului n (în cel mult r termeni) este egală cu numărul de tablouri semistandard de forma λ (conținând numai numere ). de la 1 la r ), care este dat de formula:

unde indexul i numerotează rândul și indexul j numerotează coloana celulei. [6] De exemplu, partiția (5,4,1) generează dimensiunea reprezentării ireductibile corespunzătoare a grupului GL 7 (parcurgerea celulei linie cu linie):

Reprezentări limitate

Reprezentarea grupului simetric S n pe n elemente este și reprezentarea grupului simetric pe n − 1 elemente , S n −1 . Totuși, o reprezentare ireductibilă a lui S n nu este neapărat o reprezentare ireductibilă a lui S n −1 , dar poate fi o sumă directă a mai multor astfel de reprezentări. Aceste reprezentări sunt numite factori de reprezentare restricționată .

Întrebarea de a determina descompunerea reprezentării restrânse a reprezentării ireductibile date S n corespunzătoare partiției λ a numărului n are următorul răspuns. Sunt luate în considerare toate diagramele Young, care pot fi obținute dintr-o diagramă de forma λ prin ștergerea unei celule (care trebuie să fie la sfârșitul rândului său și al coloanei sale). Reprezentarea restrânsă se descompune apoi într-o sumă directă de reprezentări ireductibile S n −1 corespunzătoare acestor diagrame, fiecare dintre acestea având loc exact o dată în sumă.

Vezi și

Note

  1. ^ Knuth , Donald E. (2005), The Art of Programming, volumul 3: Sorting and Searching (ed. a doua), Williams, Addison-Wesley, p. 66  .
  2. ↑ Young, A. (1900), Despre analiza substituțională cantitativă , Proceedings of the London Mathematical Society , Ser. 1 Vol. 33 (1): 97–145 , DOI 10.1112/plms/s1-33.1.97  . Vezi în special p. 133.
  3. ↑ R. Stanley Combinatorică enumerativă. M: Mir, 1990. p. 52.
  4. ↑ Macdonald, 1979 , p. 2.
  5. ↑ de exemplu, o diagramă oblică constând dintr-un singur pătrat în poziția (2,4) poate fi obținută prin eliminarea subdiagramei μ din diagrama λ = (5,4,2,1) , sau într-un număr infinit de alte moduri . În general, orice diagramă oblică pentru care setul de rânduri nevide (sau coloane nevide) nu este continuu, sau nu conține un prim rând (sau prima coloană), provine din mai multe forme de declinare.
  6. ↑ Predrag Cvitanovic. Teoria grupurilor: Urme de păsări, minciuni și  grupuri excepționale . - Princeton University Press , 2008. , ur. 9.28 și Anexa B.4

Literatură

Link -uri