Calcul diferențial asupra algebrelor comutative

Calculul diferențial asupra algebrelor comutative este o ramură a algebrei comutative care a apărut în anii șaptezeci ai secolului trecut.

Operatori scalari

Fie un câmp, să fie o algebră peste un câmp , comutativă și cu unitate și să fie o mapare -liniară, . Orice element al algebrei poate fi înțeles ca operator de înmulțire: . Operatorii și , în general, nu fac naveta, iar egalitatea este valabilă dacă și numai dacă este un -homomorfism. $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $\Delta \colon A\to A$ $\Bbbk$ $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $a\în A$ $a(b)=ab,\b\in A$ $A$ $\Delta$ $a\circ \Delta -\Delta \circ a=[a,\Delta ]=0$ $\Delta$ $A$

Definiția 1 . este numit operator diferenţial (DO) de ordin de la la dacă pentru oricare $\Delta \in \mathrm {Hom} _{\Bbbk }(A,A)$ $\leq n$ $A$ $A$ $a_{0},\dots, a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0.

Setul tuturor TO-urilor de ordin de la până este notat cu . Suma a două DO de ordin va fi din nou DO de ordin , iar mulțimea este stabilă atât în ceea ce privește înmulțirea la stânga cât și la dreapta cu elemente ale algebrei , deci este dotată cu structura naturală a bimodulus over . $\leq n$ $A$ $A$ $\mathrm {Dif.} _{n}A$ $\leq n$ $\leq n$ $\mathrm {Dif.} _{n}A$ $A$ $A$

Derivații

Punctele de algebră se numesc -homomorfisme de la la . Se notează mulțimea tuturor punctelor algebrei , echipate cu topologia Zariski, cu . Elementele de algebră pot fi înțelese ca funcții asupra spațiului prin setare . $A$ $\Bbbk$ $A$ $\Bbbk$ $A$ $\vert A\vert$ $A$ $\vert A\vert$ $a(z)=z(a),\z\in \vert A\vert$

Definiția 2 . O mapare se numește vector tangent la spațiu într-un punct dacă îndeplinește regula Leibniz în acel punct: $\Delta _{z}\colon A\to \Bbbk$ $\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$

\Delta _{z}(fg)=f(z)\Delta _{z}(g)+g(z)\Delta _{z}(f),\quad f,g\in A.

Mulțimea tuturor vectorilor tangenți la un punct are structura naturală a unui spațiu vectorial peste . Se numește spațiu tangent al spațiului în punctul . $T_{z}\vert A\vert$ $z\in \vert A\vert$ $\Bbbk$ $\vert A\vert$ $z$

Definiția 3 . O mapare se numește o derivație a unei algebre cu valori în dacă îndeplinește regula Leibniz: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $A$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Mulțimea tuturor derivațiilor unei algebre cu valori în are structura naturală a unui modul din stânga . (Înmulțirea corectă nu păstrează această mulțime.) Orice diferențiere definește o familie de vectori tangenți pentru toate punctele : . $D(A)$ $A$ $A$ $A$ $\Delta$ $\Delta _{z)$ $z\in \vert A\vert$ $\Delta _{z}(f)=(\Delta (f))(z)$

Derivațiile, desigur, sunt ÎNAINTE de comandă : $\leq 1$

D(A)=\{\Delta \in \mathrm {Diff} _{1}A\\vert \\Delta (k)=0\\forall k\in \Bbbk \)

Este definit un izomorfism natural al modulelor stângi $A$

\mathrm {Dif.} _{1}A=D(A)+A.

Funcții Smooth

Dacă este algebra funcțiilor netede pe varietate , atunci este înzestrată în mod natural cu structura unei varietăți netede și rezultă că . $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $\vert C^{\infty }(M)\vert$ $\vert C^{\infty}(M)\vert =M$

Teorema . Fie și să fie un sistem de coordonate locale într-o vecinătate a . Apoi restricțiile pe și pe pot fi scrise în următoarea formă $\Delta \in \mathrm {Dif} _{l}A,\ \nabla \in \mathrm {D} (A)$ $x_1,\dots,x_n$ $U\subset M$ $\Delta$ $\nabla$ $U$

\nabla {\big |}_{U}=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\dfrac {\partial }{\partial x_{i)}}, \quad \alpha _{i}\in C^{\infty }(U)

\Delta {\big |}_{U}=\sum _{|\sigma |=0}^{l}\alpha _{\sigma }{\dfrac {\partial ^{|\sigma |} }{\partial x^{\sigma }}},\quad \alpha _{\sigma }\in C^{\infty }(U)

Cu alte cuvinte, pentru algebra funcțiilor netede pe M, definiția „algebrică” a lui DO coincide cu cea clasică, iar derivațiile algebrei sunt câmpuri vectoriale pe . $C^{\infty }(M)$ $M$

Caz general

Să fie module peste . Definițiile 1 și 3 se reportează neschimbate în acest caz: $P,\Q$ $A$

Definiția 4 . -homomorfismul se numește operator diferențial liniar de ordin de la la ~ dacă pentru oricare $\Bbbk$ $\Delta \colon Q\to P$ $\leq n$ $Q$ $P$ $a_{0},\dots, a_{n}\in A$

[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},\Delta ]\ldots ]]]=0

Definiția 5 . O mapare se numește o derivație a unei algebre cu valori în dacă îndeplinește regula Leibniz: $\Delta \colon A\to A$ $A$ $P$

\Delta (fg)=f\Delta (g)+g\Delta (f),\quad f,g\in A.

Mulțimea tuturor DO-urilor de ordin de la to este un bimodul peste , iar mulțimea tuturor derivațiilor lui to este un modul stânga . $\mathrm {Dif.} _{n}(P,Q)$ $\leq n$ $Q$ $P$ $A$ $\mathrm {D} (P)$ $A$ $P$ $A$

Dacă este algebra funcțiilor netede pe varietatea , atunci modulele proiective finit generate nu sunt altele decât modulele secțiunilor de pachete vectoriale cu dimensiuni finite peste . În acest caz, Definiția 4 descrie DO pentru funcții cu valori vectoriale care le transformă în funcții cu valori vectoriale, în timp ce Definiția 5 descrie câmpuri vectoriale cu valori vectoriale. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $A$ $M$

Reprezentarea obiectelor și geometrizarea

Funcționează și sunt reprezentabili: $\mathrm {Dif.} _{n}(P,\quad )$ $\mathrm {D} =\mathrm {D} (\quad )$

Teorema . 1. Există module unice și derivații astfel încât pentru orice modul există un izomorfism natural $A$ $\lambda$ $d\colon A\la \Lambda$ $A$ $Q$

\mathrm {D} (Q)=\mathrm {Hom} _{A}(\Lambda,Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}(\Lambda,Q)\ni h\leftrightarrow h\circ d\in \mathrm {D} (Q).

2. Există unic -module și DO de ordin astfel încât pentru orice -modul există un izomorfism natural $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}\colon P\to {\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\leq n$ $A$ $Q$

\mathrm {Dif} _{n}(P,Q)=\mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q),\quad \mathrm {Hom} _{A}({\mathcal {J}}^{n}(P),Q)\ni h\leftrightarrow h\circ j_{n}\in \mathrm {Dif.} _{n}(P ,Q).

Derivația și DO sunt numite diferențiere universală și , respectiv, DO universal de ordin, iar modulele și sunt numite modulul formelor diferențiale de ordinul întâi și modulul jeturilor de ordin . (Uneori termenul „jet” este folosit în locul termenului „jet”.) $d$ $j_n$ $\leq n$ $\lambda$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $n$

Modulele și sunt descrise destul de simplu „pe degete”. Și anume, modulul - este generat de toate elementele posibile ale formei pentru care sunt valabile următoarele relații: ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $\lambda$ $A$ ${\mathcal {J}}^{n}(P)$ $j_{n}(p),\p\in P$

j_{n}(kp)=kj_{n}(p)\\forall k\in \Bbbk ,\p\in P

{\big (}[a_{n},[a_{n-1},[\ldots [a_{0},j_{n}]\ldots ]]]{\big )}(p)= 0\ \forall p\in P,\ a_{0},\dots ,a_{n}\in A

, unde și așa mai departe.

{\big (}[a_{0},j_{n}]{\big )}(p)=a_{0}j_{n}(p)-j_{n}(a_{0}p ),\quad {\big (}[a_{1}[a_{0},j_{n}]]{\big )}(p)=a_{1}a_{0}j_{n}(p) -a_{1}j_{n}(a_{0}p)-a_{0}j_{n}(a_{1}p)+j_{n}(a_{1}a_{0}p)

În mod similar, modulul - este generat de toate elementele posibile ale formei pentru care sunt valabile următoarele relații: $A$ $\lambda$ $da,\a\in A$

d(ka)=kda\\forall k\in \Bbbk ,\a\in A

d(ab)=adb+bda\\forall a,b\in A

Ar fi firesc să ne așteptăm și aici că pentru algebră formele diferențiale se vor dovedi a fi forme diferențiale „obișnuite” pe varietate , iar jeturile - jeturi „obișnuite” , dar nu este cazul. Motivul pentru aceasta este existența elementelor invizibile în construcțiile algebrice , adică elemente nenule, care, totuși, sunt egale cu zero în fiecare punct al varietății . De exemplu, fie , forma diferențială este diferită de zero, dar . Modulele peste care nu conțin elemente invizibile se numesc geometrice. Pentru orice -modul , mulțimea tuturor elementelor invizibile formează un submodul al cărui factor este un modul geometric și este notat cu . Modulele și , unde este un modul geometric, vor fi obiectele reprezentative pentru functori și din categoria modulelor geometrice peste . Ele se dovedesc a fi izomorfe la modulul de forme diferențiale „obișnuite” și, respectiv, la modulul de jeturi „obișnuite”. $A=C^{\infty }(M)$ $M$ $M$ $M=\mathbb {R} ^{1)$ $e^{x}dx-de^{x}\in \Lambda$ $(e^{x}dx-de^{x}){\big |}_{z}=0\\forall z\in \mathbb {R} ^{1}$ $C^{\infty }(M)$ $C^{\infty }(M)$ $S$ $G(S)$ $G(\Lambda )$ $G({\mathcal {J}}^{n}(P))$ $P$ $\mathrm{D}$ $\mathrm {Dif.} _{n}(P,\quad )$ $A=C^{\infty }(M)$

Algebre gradate

Această teorie poate fi ușor transferată în cazul algebrelor gradate (superalgebre în vechea terminologie), unde, în special, oferă o nouă perspectivă asupra unor construcții precum formele integrale și integrala Berezin.

Aplicații

Faptul că calculul diferențial este o ramură a algebrei comutative este interesant în sine și este strâns legat de unul dintre cele mai importante concepte fizice --- conceptul de observabil . Construcțiile algebrice invariante fac posibil să se lucreze acolo unde abordarea clasică a coordonatelor este prea greoaie, sau chiar imposibilă, de exemplu, în cazul varietăților cu singularități sau infinit-dimensionale. Ele sunt folosite în mecanica hamiltoniană și lagrangiană , teoria legilor conservării, calculul secundar , ca să nu mai vorbim de geometria algebrică și diferențială .

Context istoric

Definiția DO în categoria modulelor peste algebrele comutative a apărut, independent unele de altele, în lucrările lui P. Gabriel [1] , S. Suzuki [2] și A. M. Vinogradov [3] . Cu toate acestea, doar A. M. Vinogradov și-a dat seama de importanța deplină a abordării algebrice a DO, iar principala contribuție la dezvoltarea acestei teorii a fost adusă de el și studenții săi.

Vezi și

Note

↑ P. Gabriel , Construction de préschémas-quotients (d'après Grothendieck A.), Généralités sur les groupes algébriques, Étude infinitésimale des schémas en groupes, SGA3 Schémas en groupes, Séminaire de Géométrie algébrique du Bois Marie (1962-1964), Lect. Note la matematică. 151, Springer (1970), 251-286, 287-317, 411-562.
↑ Satoshi Suzuki , Diferențiale inelelor comutative, lucrări de la Queen's University în matematică pură și aplicată, 29, Queen's University, Kingston, 1971.
↑ A. M. Vinogradov , Algebra logicii teoriei operatorilor diferenţiali lineari Arhivat 12 decembrie 2021 la Wayback Machine , DAN 205:5 (1972), 1025-1028.

Literatură

Jet Nestruev , Smooth Manifolds and Observables , MCNMO, Moscova, 2000.
A. M. Vinogradov, I. S. Dyer , Ce este formalismul hamiltonian? // Progrese în științe matematice. - 1975. - V. 30, numărul 1 (181), - p. 173–198.
A. M. Vinogradov, I. S. Krasilshchik, V. V. Lychagin , Introducere în geometria ecuațiilor diferențiale neliniare, Capitolul 1. Operatori diferențiali liniari în algebrele comutative M., Nauka, 1986.
A. M. Vinogradov , Unele sisteme omologice legate de calculul diferențial în algebrele comutative // Uspekhi matematicheskikh nauk. - 1979. - V. 34, numărul 6 (210), - p. 145–150.
IS Krasil'shchik , Prelegeri despre operatorii diferențiali liniari peste algebrele comutative. Eprint DIPS-01/98
Aspecte algebrice ale calculului diferențial, editat de Joseph Krasil'shchik și Alexandre Vinogradov , - Special Issue of Acta Applicandae Mathematicae, Volumul 49, Numărul 3, decembrie 1997, 321 pagini, ISSN: 0167-8019. (Articolele din acest număr sunt disponibile individual electronic: DIPS-01/96 , DIPS-02/96 , DIPS-03/96 , DIPS-04/96 , DIPS-05/96 , DIPS-06/96 , DIPS-07 / 96 , DIPS-08/96 ).
IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky , Metode omologice în ecuațiile fizicii matematice, Ed. deschisă. and Sciences, Opava (Rep. Cehă), 1998; Eprint arXiv:math/9808130v2 .
Alexandre M. Vinogradov , Logica calculului diferențial și grădina zoologică a structurilor geometrice, arXiv:1511.06861 .
AM Vinogradov , Analiza coomologică a ecuațiilor diferențiale parțiale și a calculului secundar, — seria AMS „Traducerea monografiilor matematice”, voi. 204, 247 pagini, 2001.