Legea logaritmului iterat

Legea logaritmului iterat este legea limitativă a teoriei probabilităților . Teorema determină ordinea de creștere a divizorului unei secvențe de sume de variabile aleatoare, sub care această secvență nu converge la zero, dar rămâne aproape peste tot în limite finite.

Pentru cazul unei șiruri de sume de variabile aleatoare independente având aceeași distribuție cu două valori, teorema a fost demonstrată de A. Ya. Khinchin în 1924 [1] [2] . Prima teoremă de tip general a fost demonstrată de A. N. Kolmogorov în 1929 [3] [4] .

Teorema

Fie variabile aleatoare independente distribuite identic cu așteptări matematice zero și varianță unitară . Atunci aproape sigur : ${Y_{n}}$ $S_{n}=Y_{1}+\dots +Y_{n}.$

\limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}={\sqrt {2}},

\liminf _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=-{\sqrt {2}},

unde este logaritmul natural al lui , este limita superioară a lui , este limita inferioară a lui . $\ln$ $\limsup$ $\liminf$

Generalizări și completări

Generalizările legii logaritmului repetat a lui Kolmogorov pentru secvențe de variabile aleatoare independente mărginite distribuite inegal au fost studiate de V. Feller [5] . O generalizare pentru convergența funcțională a fost dată de F. Strassen [6] . De asemenea, a demonstrat [7] că dacă este o secvență de variabile aleatoare independente care au aceeași distribuție cu varianță infinită, atunci $Y_{n}$

\limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {n\ln \ln n))}=\infty .

Relația cu alte teoreme limită

Legea logaritmului iterat este intermediară între legea numerelor mari și teorema limită centrală . Legea numerelor mari există în două versiuni - slabă și întărită , ei susțin că sumele cu un divizor tind la zero, respectiv, în probabilitate și aproape sigur : $S_{n}$ $n$

{\frac {S_{n}}{n}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0,\quad {\frac {S_{n}}{n}}\longrightarrow 0

aproape sigur la

n\la \infty .

Teorema limită centrală afirmă că sumele divizorilor converg către distribuția normală standard , iar această succesiune de sume nu converge către nicio mărime anume nici probabil, nici aproape sigur , ci rătăcește la infinit. $S_{n}$ ${\sqrt n}$

Divizorul în legea logaritmului iterat conduce la rezultate diferite pentru convergența probabilității și aproape sigur :

{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0

și tinde spre nimic, aproape sigur la .

n\la\infty

Astfel, deși valoarea va fi mai mică decât oricare dată cu o probabilitate care tinde spre unu, se va apropia de orice punct al segmentului cât de aproape dorește aproape sigur de un număr infinit de ori . $S_{n}/{\sqrt {n\ln \ln n)}$ $\varepsilon >0$ $[-{\sqrt 2},{\sqrt 2}]$

Note

↑ Khinchin A. Ya., „Fundam. matematică”, 1924, v. 6, p. 9–20.
^ Khinchin A. Ya. „Basic Laws of Probability Theory” Copie de arhivă din 23 noiembrie 2012 la Wayback Machine , 1932.
↑ Kolmogorov A.N., „Math. Ann.”, 1929, Bd 101, S. 126–135.
↑ Legea logaritmului iterat - articol Enciclopedia Matematicii .
↑ W. Feller, „Forma generală a așa-numitei legi a logaritmului iterat” Trad. amer. Matematică. soc. , 54 (1943) pp. 373–402.
↑ V. Strassen, „Un principiu de invarianță pentru legea logaritmului iterat” Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) pp. 211–226.
↑ V. Strassen, „A converse to the law of iterated logarithm” Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965–1966) pp. 265–268.