Categoria monoidală închisă

În teoria categoriilor , o categorie monoidală închisă este o categorie care permite să luăm produse tensoriale ale obiectelor, precum și să ia în considerare obiectele corespunzătoare seturi de morfisme. Exemplul clasic este categoria multimilor , in care exista un produs cartezian al multimilor , precum si o multime de functii intre doua multimi. „Un obiect care corespunde unui set de morfisme” este de obicei numit Hom interior .

Definiție

O categorie monoidală simetrică se numește închisă dacă pentru oricare dintre obiectele sale functorul , dat prin multiplicarea tensorială din dreapta: ${\mathcal {C}}$ $B$ $B$

A\mapsto A\otimes B

are un adjunct drept , notat

A\mapsto (B\Rightarrow A).

Aceasta înseamnă că există o bijecție, numită „ currying ”, între seturi

{\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}_{\mathcal {C}}(A,B\Rightarrow C )

care este firesc în A şi în C .

În mod echivalent, o categorie monoidală închisă este o categorie echipată, pentru oricare două obiecte A și B , ${\mathcal {C}}$

obiect , $A\Rightarrow B$
și morfism , $\mathrm {eval} _{A,B}:(A\Rightarrow B)\otimes A\to B$

satisfacand urmatoarea proprietate universala : pentru orice morfism

f:X\otimes A\to B

există un singur morfism

h:X\la A\Rightarrow B

astfel încât

f=\mathrm {eval} _{A,B}\circ (h\otimes \mathrm {id} _{A}).

Se poate arăta că această construcție definește un functor . Acest functor este numit functorul interior Hom . Multe alte notații sunt folosite pentru un obiect , de exemplu, când un produs tensor în C este un produs cartezian de mulțimi, acesta este de obicei notat și numit exponențial . $\Rightarrow:C^{op}\otimes C\to C$ $A\Rightarrow B$ $B^{A}$

Categoriile biînchise

În cazul unei categorii monoidale simetrice, functorii înmulțirii tensorului stâng și înmulțirii tensorului drept sunt în mod natural izomorfi , deci oricare poate fi utilizat pentru a defini închiderea. Dacă categoria nu este simetrică, definiția de mai sus corespunde unei categorii monoidale închise la dreapta , deoarece am cerut doar ca înmulțirea tensorului cu un obiect din dreapta să aibă un functor adjunct drept. O categorie monoidală închisă la stânga este una în care înmulțirea tensorului cu un obiect din stânga $A$ $A$

B\mapsto A\otimes B

are un adjunct stâng

B\mapsto (B\Leftarrow A)

O categorie monoidală biînchisă este o categorie monoidală care este închisă la stânga și la dreapta.

Exemple

După cum am menționat mai sus, categoria Set este o categorie monoidală închisă. De asemenea, este închisă carteziană , iar orice categorie închisă carteziană este închisă monoidal.
Categoria FdVect de spații vectoriale cu dimensiuni finite și mapări liniare, cu produsul tensor obișnuit , este un monoidal închis. Aici , este spațiul vectorial al mapărilor liniare de la la (izomorf la spațiul matricelor). $A\Rightarrow B$ $A$ $B$

Note

Kelly, GM, „Conceptele de bază ale teoriei categoriilor îmbogățite” Arhivat la 8 septembrie 2012 la Wayback Machine , London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (CUP, 1982)
Paul-André Mellies, Semantica categorială a logicii liniare, 2007
Categoria monoidal închisă Arhivat 3 iunie 2013 la Wayback Machine pe nLab [