Functori adjuncți

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 8 martie 2020; verificările necesită 2 modificări .

Functorii adjuncți sunt o pereche de functori care se află într-o anumită relație unul cu celălalt. Functorii adjuncți sunt adesea întâlniți în diferite domenii ale matematicii.

Informal, functorii F și G sunt conjugați dacă satisfac relația . Atunci F este numit functor adjunct stâng, iar G este numit drept. $\mathrm {Hom} (F(X),Y)\simeq \mathrm {Hom} (X,G(Y))$

Motivație

Functorii adjuncți sunt unul dintre instrumentele cheie ale teoriei categoriilor , multe construcții matematice notabile pot fi descrise ca functori adjuncți. Ca urmare, dovezile multor rezultate interesante pot urma imediat din teoremele generale ale functorilor adjuncți, cum ar fi echivalența diferitelor definiții și din faptul că functorii adjuncți din dreapta comută cu limite (și cei din stânga cu colimite).

Rezolvarea problemei de optimizare

Putem spune că un functor adjunct este o modalitate de a specifica cea mai eficientă soluție a unei probleme folosind o metodă standard. De exemplu, o problemă elementară din teoria inelelor este cum să transformi un pseudo -inel (adică un inel care poate să nu aibă o unitate multiplicativă) într- un inel . Cel mai eficient mod de a face acest lucru este să adăugați unul la inel, toate elementele necesare pentru a satisface axiomele inelului (de exemplu, elemente de tip r +1 , unde r este un element al inelului), și nu presupune orice relații din noul inel care nu sunt necesare pentru a satisface axiomele. Această construcție este standard în sensul că funcționează pentru orice pseudoring.

Descrierea de mai sus este foarte vagă, dar poate fi făcută precisă folosind limbajul teoriei categoriilor: o construcție este „ cea mai eficientă ” dacă satisface proprietatea universală și „ standard ” în sensul că definește un functor. Proprietățile universale sunt împărțite în inițiale și terminale, deoarece aceste concepte sunt duale , este suficient să luăm în considerare unul dintre ele.

Ideea utilizării proprietății inițiale este de a formula problema în termenii unei astfel de categorii auxiliare E , încât rămâne doar să găsim obiectul inițial E. Această formulare are avantajul că problema „găsirii celei mai eficiente soluții” devine destul de riguroasă și într-un fel similară cu problema găsirii unui extremum . Pentru a alege categoria potrivită E , uneori este necesar să alegeți trucuri dificile: în cazul unui semiine R , categoria cerută este o categorie ale cărei obiecte sunt homomorfisme ale semiinelelor R → S , unde S este un inel cu identitate. Morfismele din E între R → S 1 și R → S 2 sunt triunghiuri comutative de forma ( R → S 1 , R → S 2 , S 1 → S 2 ) , unde S 1 → S 2 este un homomorfism inel. Existența unui morfism între R → S 1 și R → S 2 înseamnă că S 1 nu este o soluție mai puțin eficientă a problemei decât S 2 : S 2 are mai multe elemente adăugate și/sau mai multe relații între ele decât S 1 .

A spune că această metodă definește soluția „ cea mai eficientă ” și „ standard ” a unei probleme este același lucru cu a spune că definește functorii adjuncți.

Definiții formale

Există mai multe definiții echivalente ale functorilor adjuncți. Echivalența lor este elementară, dar nu banală.

Definiția săgeții universale este ușor de formulat și este, de asemenea, cea mai apropiată de intuiția noastră despre „problema de optimizare”.

Definiția unității și contului este convenabilă pentru functorii des întâlniți în algebră, deoarece oferă formule care pot fi verificate direct.

Definiția setului Hom face ca definiția să fie simetrică și clarifică motivele pentru a numi functorii „adjuncți”.

Săgeată universală

Un functor F : C ← D este un functor adjunct stânga dacă pentru fiecare obiect X din categoria C există o săgeată terminală ε X de la F la X . Dacă pentru fiecare X din C alegem un obiect G 0 X în D pentru care este definită o săgeată terminală ε X : F ( G 0 X ) → X , atunci există un functor unic G : C → D astfel încât GX = G 0 X și pentru orice morfism din categoria C f : X → Xʹ avem ε Xʹ ∘ FG ( f ) = f ∘ ε X ; F se numește apoi adjunctul din stânga al functorului G .

Un functor G : C → D este un functor adjunct drept dacă pentru fiecare obiect Y din categoria D există o săgeată inițială de la Y la G . Dacă pentru fiecare Y în D alegem un obiect F 0 Y în C astfel încât săgeata inițială η Y : Y → G ( F 0 Y ) de la Y la G să fie definită , atunci există un functor unic F : C ← D astfel că FY = F 0 Y și GF ( g ) ∘ η Y = η Yʹ ∘ g pentru g : Y → Yʹ este un morfism în D ; G se numește apoi adjunctul drept al functorului F .

După cum sugerează terminologia, este adevărat că F este dualul stâng al lui G dacă și numai dacă G este dualul drept al lui F . Totuși, acest lucru nu este evident din definiția în ceea ce privește săgeata universală, ci este evident datorită definiției în ceea ce privește unitatea și județul.

Unitatea și unitatea

Pentru a defini o unitate și o unitate din categoriile C și D , trebuie să fixăm doi functori F : C ← D , G : C → D și două transformări naturale :

{\begin{aligned}\varepsilon &:FG\to 1_{{{\mathcal C}}}\\\eta &:1_{{{\mathcal D}}}\to GF\end{aligned}}

numită co -unitate și , respectiv, unitate de conjugare, astfel încât compozițiile

F{\xrightarrow {\;F\eta \;}}FGF{\xrightarrow {\;\varepsilon F\,}}F

și

G{\xrightarrow {\;\eta G\;}}GFG{\xrightarrow {\;G\varepsilon \,}}G

sunt transformări identice 1 F și 1 G ale functorilor F și respectiv G .

Într-o astfel de situație, F este conjugat la stânga cu G și G este conjugat la dreapta cu F . Uneori această relație este denotată sau pur și simplu . $(\varepsilon ,\eta ):F\dashv G$ $F\dashv G$

Sub formă de ecuații, condițiile de mai sus pe (ε,η) se numesc ecuații unitare și unitare :

{\begin{aligned}1_{F}&=\varepsilon F\circ F\eta \\1_{G}&=G\varepsilon \circ \eta G\end{aligned}}

Definiție prin functorul Hom

Se consideră doi functori F : C ← D și G : C → D . Să existe un izomorfism natural :

\Phi :{\mathrm {hom}}_{C}(F-,-)\la {\mathrm {hom}}_{D}(-,G-)

Aceasta definește o familie de bijecții:

\Phi _{{Y,X}}:{\mathrm {hom}}_{C}(FY,X)\to {\mathrm {hom}}_{D}(Y,GX)

pentru toate obiectele X în C și Y în D .

Aici F se numește conjugat stânga pentru G și G este numit conjugat la dreapta pentru F .

Pentru a înțelege ce se înțelege prin naturalețea lui Φ , este necesar să explicăm modul în care hom C ( F -, -) și hom D ( -, G -) sunt functori. De fapt, ambii sunt bifunctori de la D op × C la Set . În mod explicit, naturalețea lui Φ înseamnă că pentru toate morfismele f : X → X ′ în C și morfismele g : Y ′ → Y în D , următoarea diagramă comută:

Exemple

Grupuri gratuite

Construirea unui grup liber este un exemplu convenabil pentru clarificarea esenței definițiilor. Fie F : Grp ← Set un functor care asociază cu o mulţime Y grupul liber generat de elementele lui Y , iar G : Grp → Set un functor uitator care asociază un grup X cu mulţimea lui suport. Atunci F este adjunctul din stânga lui G :

Săgeți terminale: pentru fiecare grup X , grupul FGX este un grup liber generat de elementele lui X ca mulțime. Fie un homomorfism de grup care duce generatorii lui FGX la elementele corespunzătoare ale lui X. Atunci este un morfism terminal de la F la X , deoarece orice homomorfism din grupul liber FZ la X poate fi realizat cu ajutorul unei singure funcții din mulțimea Z la mulțimea X. Aceasta înseamnă că ( F , G ) este o pereche de functori adjuncți. $\varepsilon _{X}:FGX\la X$ $(GX,\varepsilon _{X})$ $\varepsilon _{X}:FGX\la X$

Seturile Hom: mapările de la grupul liber FY la grupul X corespund în mod unic mapărilor din mulțimea Y la mulțimea GX : fiecare homomorfism este determinat în mod unic de valorile sale pe generatoarele grupului liber. Prin calcul direct, se poate verifica dacă această corespondență este o transformare naturală și, prin urmare, perechea ( F , G ) este conjugată.

Alte exemple din algebră

Toate obiectele libere sunt rezultatele aplicării functorului liber, care este adjunctul din stânga al functorului uitător .
Produsele , nucleele și egalizatoarele sunt exemple de limite categorice . Toți functorii limită sunt adjuncți la dreapta functorului diagonal . În mod similar, coprodușii , nucleele și coegalizatorii sunt colimite , iar functorul colimit este adjunctul din stânga al functorului diagonal.
Adăugarea unei unități la pseudo-ring (exemplu din secțiunea „Motivație”). Dacă ni se dă un pseudoring R , atunci inelul corespunzător este produsul R × Z , pe care produsul Z -bilinear este definit prin formula (r,0)(0,1) = (0,1)(r, 0) = (r ,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1) . Functorul construit este lăsat conjugat cu un functor uitator trimițând un inel către pseudoringul corespunzător.
Extensii de inel. Fie R și S inele și ρ : R → S un homomorfism inel. Atunci S poate fi privit ca un R -modul (stânga), iar produsul tensor cu S definește un functor F : R - Mod → S - Mod . Aici F este lăsat conjugat la functorul uituc G : S - Mod → R - Mod .
Produse tensor . Dacă R este un inel și M este un modul R drept , atunci produsul tensor cu M definește un functor F : R - Mod → Ab . Functorul G : Ab → R - Mod definit ca G ( A ) = hom Z ( M , A ) este conjugat corect cu F .
Teren privat . Pentru categoria Dom m de inele integrale și homomorfisme injective, functorul uituc Câmp → Dom m are un adjunct stâng care asociază cu fiecare inel integral câmpul său de câte .
Inele polinomiale '. Pentru Inel * , categoria inelelor comutative cu element distins și homomorfisme care păstrează un element distins, functorul uituc G: Inel * → Inel are un dual stâng — asociază o pereche ( R [ x ], x ) cu R [ x ] , unde R [ x ] este un polinoame inel cu coeficienți din R .
Abelizarea. Functorul uituc G : Ab → Grp are un adjunct stâng, numit functor de abelizare, care atribuie fiecărei grupe G o grupă de coeficient prin comutatorul : G ab = G /[ G , G ] .

Exemple de topologie

Un functor cu două conjugate. Fie G un functor care asociază un spațiu topologic cu mulțimea lui suport (adică uită topologia). G are un F dual stâng , dotând mulţimile cu topologia discretă , şi un H dual drept , dotând mulţimile cu topologia trivială .
Suprastructură și spații bucle . Având în vedere spațiile topologice X și Y , se poate construi un spațiu [ SX , Y ] de clase de homotopie de mapări din suspensia lui SX la Y. Este în mod natural izomorf cu spațiul [ X , Ω Y ] al claselor de homotopie de mapări de la X la spațiul buclei Ω Y , astfel încât functorii de suspensie și spațiu de buclă sunt conjugați în categoria de homotopie a spațiilor topologice.
Încorporarea G : KHaus → Top al categoriei de spații Hausdorff compacte în categoria spațiilor topologice are un functor adjunct stâng F : Top → KHaus , compactarea Stone-Cech . Unitatea acestei perechi definește o mapare continuă de la un spațiu topologic arbitrar X până la compactarea acestuia. Această mapare este o încorporare dacă și numai dacă X este un spațiu complet regulat .

Proprietăți

Existenta

Nu orice functor G : C → D are un adjunct stânga sau dreapta. Dacă C este o categorie completă , atunci după teorema functorului adjunct a lui Peter Freud G are un adjunct stâng dacă și numai dacă pentru orice Y din categoria D există o familie de morfisme:

f i : Y → G ( X i ) ,

unde indicii i trec prin mulțimea I astfel încât orice morfism:

h : Y → G ( X )

poate fi scris ca:

h = G ( t ) o f i

pentru unele i în I și unele morfism:

t : X i → X în C .

O afirmație similară caracterizează functorii care au un adjunct drept.

Unicitate

Dacă un functor F : C ← D are două conjugate drepte G și G ′ , atunci G și G ′ sunt izomorfe în mod natural .

Pe de altă parte, dacă F este lăsat conjugat cu G și G este în mod natural izomorf cu G ′ , atunci F este lăsat și conjugat cu G ′ .

Compoziție

Compozițiile de conjugare pot fi luate într-un mod natural. Dacă 〈F , G , ε, η〉 este o conjugare între C și D , iar 〈F ′, G ′, ε′, η′〉 este o conjugare între D și E , atunci functorul

F'\circ F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {E}}

lăsat conjugat la functor

G\circ G':{\mathcal {C}}\la {\mathcal {E}}

Se poate forma o categorie ale cărei obiecte sunt toate categorii mici și ale cărei morfisme sunt conjugări.

Naveta cu limite

Cea mai importantă proprietate a functorilor adjuncți este continuitatea lor: fiecare functor care are un adjunct stâng (adică este un adjunct drept) comută cu limite în sens categoric. În consecință, un functor care are un adjunct drept este finit continuu , adică comută cu colimitele . Deoarece multe construcții sunt limite sau colimite, de aici decurg imediat câteva consecințe. De exemplu:

Aplicarea functorului adjunct potrivit unui produs dă un produs de imagini.
Aplicarea functorului adjunct stâng la un coprodus dă un coprodus de imagini.
Fiecare functor conjugat și aditiv drept dintre categoriile abeliene este lăsat exact .
Fiecare functor conjugat și aditiv stânga dintre categoriile abeliene este exact exact .

Literatură

McLane S. Capitolul 4. Functori adjuncţi // Categorii pentru matematicianul de lucru / Per. din engleza. ed. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

F. Borceux. Manual de algebră categorială 1. Teoria de bază a categoriilor. — Enciclopedia de matematică și aplicațiile ei. - Cambridge: Cambridge University Press, 1994. - 345 p. — ISBN 0 521 44178 1 .
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. Categorii abstracte și concrete. Bucuria pisicilor (engleză) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)