Injecție (matematică)

Injecția ( mapping injectiv ) în matematică este o mapare a unei mulțimi într-o mulțime ( ), în care diferite elemente ale mulțimii sunt traduse în diferite elemente ale mulțimii , adică dacă două imagini coincid în timpul mapării, atunci preimaginile coincid : . $f$ $X$ $Y$ $f\coloan X\la Y$ $X$ $Y$ $f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}$

O injecție se mai numește încorporare sau o mapare unu-la-unu (spre deosebire de o bijecție , care este unu-la-unu ). Spre deosebire de surjecție , despre care se spune că mapează un set pe altul, o expresie similară despre injecție este formulată ca o mapare la . $f\coloan X\la Y$ $X$ $Y$

O injecție poate fi definită și ca o mapare pentru care există o inversă stângă , adică injectiv, dacă există astfel încât compoziția . $f\coloan X\la Y$ $g\coloană Y\la X$ $g\circ f=\operatorname{id}_X$

Conceptul de injecție (împreună cu surjecție și bijecție ) a fost introdus în lucrările lui Bourbaki și a devenit larg răspândit în aproape toate ramurile matematicii.

Exemple

$f\colon \mathbb {R} _{>0}\la \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x$ ( logaritm natural ) - injectiv și surjectiv ( aici - mulțimea numerelor pozitive ). $\mathbb {R} _{>0}$
$f\colon \mathbb {R} _{+}\la \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2)$ — injectiv (aici — mulțimea numerelor nenegative ). $\R_+$
$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2)$ — nu este injectiv, deoarece . $f(-2)=f(2)=4$

Aplicație

Unul dintre exemplele aplicate de aplicare a conceptului de injecție este organizarea unei relații unu-la-unu între entități într-un model de date relaționale .
Funcția hash ideală este injectivă.

Generalizări

O generalizare a conceptului de injecție în teoria categoriilor este conceptul de monomorfism . În multe categorii, deși nu în toate, aceste concepte sunt echivalente.

Literatură

N. K. Vereshchagin, A. Shen. Începuturile teoriei mulțimilor // Prelegeri despre logica matematică și teoria algoritmilor . (link indisponibil)
Ershov Yu. L., Paliutin E. A. Logica matematică: manual. - al treilea, stereotip. ed. - Sankt Petersburg. : Lan, 2004. - 336 p.