Coordonatele canonice

Coordonatele canonice sunt parametri independenți în formalismul hamiltonian al mecanicii clasice . Ele sunt de obicei notate ca și . $q_{i}$ $p_{i}$

Coordonatele canonice satisfac relațiile fundamentale exprimate în termeni de paranteze Poisson :

\{q_i, q_j\} = 0 \qquad \{p_i, p_j\} = 0 \qquad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}

Coordonatele canonice pot fi obținute din coordonatele Lagrangiane generalizate folosind transformări Legendre , sau dintr-un alt set de coordonate canonice folosind transformări canonice . Dacă Hamiltonianul este definit pe mănunchiul cotangent, atunci coordonatele generalizate sunt legate de coordonatele canonice folosind ecuațiile Hamilton-Jacobi .

Deși pot exista multe opțiuni pentru alegerea coordonatelor canonice ale unui sistem fizic, de obicei sunt aleși parametri care sunt convenabil pentru descrierea configurației sistemului și care simplifică soluția ecuațiilor Hamilton.

Concepte similare sunt folosite și în mecanica cuantică , vezi teorema Stone-von Neumann și relațiile de comutație canonice .

Generalizare

Deoarece mecanica hamiltoniană este matematic o geometrie simplectică , transformările canonice sunt un caz special de transformări de contact .

Coordonatele canonice sunt definite ca un set special de coordonate pe pachetul cotangent al unei varietăți . Ele sunt de obicei scrise ca o mulțime sau , unde litera x sau q denotă coordonatele pe varietate, iar litera p denotă momentul conjugat , care este un vector covariant în punctul q al varietății. $(q^{i},p_{j})$ $(x^i,p_j)$

Definiția obișnuită a coordonatelor canonice este un sistem de coordonate pe pachetul cotangent, în care forma canonică 1 este scrisă ca

\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i

până la adăugarea unui diferenţial total. O schimbare a coordonatelor care păstrează acest tip este o transformare canonică . Acesta este un caz special al simplectomorfismului , care este în esență o schimbare de coordonate pe o varietate simplectică .

Studiu formal

Având în vedere o varietate reală Q , atunci câmpul vectorial X pe Q (sau, în mod echivalent, o secțiune a fasciculului tangent TQ ) poate fi privit ca o funcție care acționează asupra fasciculului cotangent , datorită dualității tangentei și spații cotangente. Aceasta este funcția

P_X:T^*Q\la \mathbb{R}

astfel încât

P_X(q,p)=p(X_q)

păstrează toți vectorii cotangenți p în . Aici este un vector în , spațiul tangent al varietății Q în punctul q . Funcția se numește funcția moment corespunzătoare lui X. $T_q^*Q$ $X_q$ $T_qQ$ $P_X$

În coordonate locale, câmpul vectorial X la q poate fi scris ca

X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\partial}{\partial q^i}

unde este sistemul de coordonate în TQ. Momentul conjugat este apoi exprimat ca $\partial /\partial q^i$

P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i

unde sunt definite ca funcții ale momentului corespunzătoare vectorilor : $p_{i}$ $\partial /\partial q^i$

p_i = P_{\partial /\partial q^i}

$q^{i}$ împreună cu formează un sistem de coordonate pe fasciculul cotangent . Aceste coordonate sunt numite coordonate canonice . $pijamale}$ $T^*Q$

Literatură

Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko. Mecanica clasica. — al 3-lea. - San Francisco: Addison Wesley, 2002. - pp. 347-349. - ISBN 0-201-65702-3 .
Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 de exemplare. — ISBN 5-354-00341-5 .