Conversie canonică

În mecanica hamiltoniană , o transformare canonică (de asemenea o transformare de contact ) este o transformare a variabilelor canonice care nu schimbă forma generală a ecuațiilor hamiltoniene pentru niciun hamiltonian. Transformările canonice pot fi introduse și în cazul cuantic, deoarece nu schimbă forma ecuațiilor Heisenberg . Ele fac posibilă reducerea unei probleme cu un anumit Hamiltonian la o problemă cu un Hamiltonian mai simplu atât în cazul clasic cât și în cazul cuantic. Transformările canonice formează grupul .

Definiție

Transformări

Q_{i}=Q_{i}(q_{1},\ldots,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t),

P_{i}=P_{i}(q_{1},\ldots,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t),

j=1,\ldots ,s,

, unde este numărul de grade de libertate ,

s

{\frac {\partial (Q_{1},\ldots,Q_{s};P_{1},\ldots,P_{s})}{\partial (q_{1},\ldots,q_ {s};q_{1},\ldots ,q_{s})}}\neq 0,

se spune că sunt canonice dacă această transformare traduce ecuațiile hamiltoniene cu funcția hamiltoniană : $H$

{\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}},

{\dot {q}}_{i}=~~{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},

în ecuațiile Hamilton cu funcția Hamilton : ${\mathcal {H}}$

{\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial Q_{i}}},

{\dot {Q}}_{i}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial P_{i}}}.

Variabilele și sunt numite coordonate noi și, respectiv, momente, în timp ce și sunt numite coordonate vechi și impuls. $Q_{i}$ $P_{i}$ $q_{i}$ $p_{i}$

Generarea funcțiilor

Din invarianța integralei Poincaré-Cartan și a teoremei lui Lee Hua-chung asupra unicității sale, se poate obține:

\sum \limits _{i=1}^{s}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}dt-c\left(\sum \limits _{i=1}^ {s}p_{i}dq_{i}-Hdt\right)=-dF,

unde constanta se numește valența transformării canonice, este diferența totală a unei funcții (se presupune că și sunt exprimate și în termenii vechilor variabile). Se numește funcția generatoare a transformării canonice. Transformările canonice sunt unul la unu determinate de funcția generatoare și de valență. $c\neq 0$ $dF$ $F(q_{1},\ldots,q_{s},p_{1},\ldots,p_{s},t)$ $P_{i}$ $Q_{i}$

Transformări canonice pentru care se numesc univalente . Întrucât, pentru o funcție generatoare dată, diferitele modifică expresiile pentru coordonatele noi prin cele vechi și, de asemenea, pentru hamiltonian doar printr-o constantă, sunt adesea luate în considerare doar transformările canonice univalente. $c=1$ $c$

Funcția generatoare poate fi adesea exprimată nu în termeni de coordonate și momente vechi, ci în termeni de oricare două dintre cele patru variabile , iar alegerea este independentă pentru fiecare . Se dovedește a fi convenabil să o exprimăm în așa fel încât pentru fiecare variabilă să fie nouă, iar cealaltă să fie veche. Există o lemă care spune că acest lucru se poate face oricând. Diferenţialul unei funcţii are o formă explicită de diferenţial total atunci când este exprimat în termeni de coordonate vechi şi noi . Când se utilizează alte perechi de coordonate, este convenabil să se treacă la funcții a căror diferenţială va avea o formă explicită a diferenţialului total pentru variabilele corespunzătoare. Pentru a face acest lucru, trebuie să faceți transformări Legendre ale funcției originale . Funcțiile rezultate se numesc funcții generatoare ale transformării canonice în coordonatele corespunzătoare. În cazul în care alegerea coordonatelor este aceeași pentru toate , există patru opțiuni pentru alegerea variabilelor, funcțiile corespunzătoare sunt de obicei notate cu numere: $p_{i},q_{i},Q_{i},P_{i)$ $i=1,\cdots ,s$ $i$ $F$ $F=F(q,p(q,Q,t),t)=F_{1}(q,Q,t)$ $F$ $i$

F_{1}(q,Q,t),\;F_{2}(q,P,t),\;F_{3}(p,Q,t),\;F_{4}( p,P,t),

unde, pentru simplitate, sunt introduși vectorii vechilor coordonate și momente , , și în mod similar pentru noile coordonate și momente. Astfel de funcții de generare sunt denumite funcții de generare de tipul 1, 2, 3 sau, respectiv, 4. $q=(q_{1},\cdots,q_{2})$ $p=(p_{1},\cdots, p_{2})$

Funcție generatoare de primul tip

Fie o funcție arbitrară nedegenerată de coordonate vechi, coordonate noi și timp: $F_{1}(q,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{1}}{\partial q\,\partial Q}}\right)\neq 0,

în plus, se dă un anumit număr , apoi perechea definește o transformare canonică conform regulii $c\neq 0$ $(F_{1},c)$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q)),

P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.

Conexiune cu funcția generatoare originală:

F_{1}(q,Q,t)=F(q,p(q,Q,t),t).

Transformarea canonică poate fi obținută cu o funcție ca aceasta dacă jacobianul este diferit de zero :

\det \left({\frac {\partial Q}{\partial p)}\right)\neq 0.

Transformările canonice completate de această condiție se numesc libere .

Funcție generatoare de al 2-lea tip

Fie o funcție arbitrară nedegenerată de coordonate vechi, impulsuri noi și timp: $F_{2}(q,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{2}}{\partial q\,\partial P}}\right)\neq 0.

în plus, se dă un anumit număr , apoi perechea definește o transformare canonică conform regulii $c\neq 0$ $(F_{2},c)$

p={\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q)),

Q={\frac {\partial F_{2}}{\partial P)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.

Conexiune cu funcția generatoare originală:

F_{2}(q,P,t)=F(q,p(q,P,t),t)+PQ(q,p(q,P,t),t).

Transformarea canonică poate fi obținută cu o funcție ca aceasta dacă jacobianul este diferit de zero :

\det \left({\frac {\partial P}{\partial p)}\right)\neq 0.

Funcție generatoare de al treilea tip

Fie o funcție arbitrară nedegenerată de momente vechi, coordonate noi și timp: $F_{3}(p,Q,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{3}}{\partial p\,\partial Q}}\right)\neq 0.

în plus, se dă un anumit număr , apoi perechea definește o transformare canonică conform regulii $c\neq 0$ $(F_{3},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{3}}{\partial p)),

P=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial Q)),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.

Conexiune cu funcția generatoare originală:

F_{3}(p,Q,t)=F(q(p,Q,t),p,t)-cpq(p,Q,t).

Transformarea canonică poate fi obținută cu o funcție ca aceasta dacă jacobianul este diferit de zero :

\det \left({\frac {\partial Q}{\partial q)}\right)\neq 0.

Funcție generatoare de al 4-lea tip

Fie o funcție arbitrară nedegenerată a impulsurilor vechi, a impulsurilor noi și a timpului: $F_{4}(p,P,t)$

\det \left({\frac {\partial ^{2}F_{4}}{\partial p\,\partial P}}\right)\neq 0.

în plus, se dă un anumit număr , apoi perechea definește o transformare canonică conform regulii $c\neq 0$ $(F_{4},c)$

q=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial F_{4}}{\partial p)),

Q={\frac {\partial F_{4)}{\partial P}),

{\mathcal {H}}=cH+{\frac {\partial F_{4}}{\partial t}}.

Conexiune cu funcția generatoare originală:

F_{4}(p,P,t)=F(q(p,P,t),p,t)+PQ(q(p,P,t),p,t)-cpq(p ,P,t).

Transformarea canonică poate fi obținută cu o funcție ca aceasta dacă jacobianul este diferit de zero :

\det \left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)\neq 0.

Exemple

1. Transformarea identităţii

Q=q,

P=p,

{\mathcal {H}}=H

poate fi obtinut de la:

F_{2}=qP,\quad c=1.

2. Dacă setați

F_{1}=-\beta qQ,\quad c=-\alpha \beta,

atunci transformarea rezultată va arăta astfel:

Q=\alpha p,

P=\beta q.

{\mathcal {H}}=-\alpha \beta H

Astfel, împărțirea variabilelor canonice în coordonate și momente este condiționată din punct de vedere matematic.

3. Transform inversiunea

Q=-q,

P=-p,

{\mathcal {H}}=H

poate fi obtinut de la:

F_{2}=-qP,\quad c=1.

4. Transformări punctuale (transformări în care noile coordonate sunt exprimate doar în termeni de coordonate și timp vechi, dar nu și de impulsurile vechi.)

Ele pot fi întotdeauna setate cu:

F_{2}=\varphi (q,t)P,\quad c=1,

apoi

Q=\varphi(q,t).

În special, dacă

F_{2}=(Aq,P),\quad c=1,

unde este o matrice ortogonala : $A,$

A^{T}A=E,

apoi

Q=Aq,

P=A^{T}p.

Funcția conduce, de asemenea, la transformări punctuale:

F_{3}=\phi (Q,t)p,\quad c=1,

apoi

q=-\phi (Q,t).

În special, funcția

F_{3}=-p_{x}\rho \cos \varphi -p_{y}\rho \sin \phi -p_{z}z,\quad c=1,

stabilește trecerea de la coordonatele carteziene la coordonatele cilindrice .

5. Transformări liniare ale variabilelor de sistem cu un grad de libertate: $(p,q)$

Q=\alpha q+\beta p

P=\gamma q+\delta p

este o transformare canonică univalentă pentru

\alpha \delta -\beta \gamma =1,

functie generatoare:

F=-\beta \gamma pq-{\frac {1}{2}}\alpha \gamma q^{2}-{\frac {1}{2}}\beta \delta p^{2 }.

Astfel de transformări formează un grup liniar special . $SL(2,\mathbb {R} )$

Acțiune ca funcție generatoare

Acțiune exprimată în funcție de coordonatele și momentele punctului final

{\mathcal {S}}=\int pdq-Hdt

defineşte o transformare canonică a sistemului hamiltonian.

Paranteze Poisson și Lagrange

O condiție necesară și suficientă pentru ca transformările să fie canonice poate fi scrisă folosind paranteze Poisson :

\lbrace P_{i}(q,p,t), P_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t), Q_{k}(q,p,t)\rbrace =0,

\lbrace Q_{i}(q,p,t), P_{k}(q,p,t)\rbrace =c\delta _{ik}.

În plus, o condiție necesară și suficientă pentru canonicitatea transformării este îndeplinirea funcțiilor arbitrare și a condițiilor: $f(Q,P,t)$ $g(Q,P,t)$

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=c\lbrace f,g\rbrace _{PQ},

unde și sunt parantezele Poisson în coordonatele vechi și, respectiv, noi. $\lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{pq)$ $\lbrace \cdot ,\cdot \rbrace _{PQ)$

În cazul transformărilor canonice univalente:

\lbrace f,g\rbrace _{pq}=\lbrace f,g\rbrace _{PQ}

și se spune că parantezele Poisson sunt invariante la astfel de transformări. Uneori transformările canonice sunt definite în acest fel (în acest caz, numai transformările univalente sunt considerate transformări canonice).

În mod similar, o condiție necesară și suficientă pentru canonicitatea transformărilor poate fi scrisă folosind paranteze Lagrange :

[p_{i},p_{k}]=0,

[q_{i},q_{k}]=0,

[q_{i},p_{k}]=c\delta _{ik}.

Literatură

Arnold VI Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 de exemplare. — ISBN 5-354-00341-5 .
Cartea din biblioteca electronică a Mekhmat a Universității de Stat din Moscova
Landau L. D., Lifshitz EM §46. Transformări canonice. Capitolul VII. Ecuații canonice. // Mecanica. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 224 p. - 3000 de exemplare. - ISBN 5-9221-0055-6 . Cartea din biblioteca electronică a Mekhmat a Universității de Stat din Moscova
Gantmakher F. R. Prelegeri de mecanică analitică. a 3-a ed. - M. : Fizmatlit, 2005. - 264 p. — ISBN 5-9221-0067-X . .
Olkhovsky II Curs de mecanică teoretică pentru fizicieni. a 4-a ed. - Sankt Petersburg. : Lan, 2009. - 576 p. - ISBN 978-5-8114-0857-3 . .