Funcție cvasi-convexă

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 19 martie 2017; verificările necesită 3 modificări .

O funcție cvasi-convexă este o generalizare a conceptului de funcție convexă , care și-a găsit o aplicație largă în optimizarea neliniară , în special, atunci când se aplică optimizarea în economie .

Definiție

Fie X o submulțime convexă a . O funcție se numește cvasi-convexă sau unimodală dacă următoarea inegalitate este valabilă pentru elementele arbitrare și : $\mathbb {R} ^{n}$ $f:X\to \mathbb {R}$ $x,y\in X$ $\lambda \in [0,1]$

$f(\lambda x+(1-\lambda)y)\leq \max {\big (}f(x),f(y){\big )}.$

Dacă, de asemenea: $f(\lambda x+(1-\lambda)y)<\max {\big (}f(x),f(y){\big ))$

pentru și atunci se spune că funcția este strict cvasi-convexă . $x\neq y$ $\lambda \in(0,1)$

O funcție se numește cvasi- concavă (strict cvasi-concavă) dacă este cvasi-convexă (strict cvasi-convexă). $f:X\to \mathbb {R}$ $-f$

În mod similar, o funcție este cvasi-concava dacă

f(\lambda x+(1-\lambda)y)\geq \min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

şi strict cvasi-concav dacă

f(\lambda x+(1-\lambda)y)>\min {\big (}f(x),f(y){\big )}.

O funcție care este atât cvasi-convexă, cât și cvasi-concavă se numește cvasi -liniară .

Exemple

O funcție convexă arbitrară este cvasi-convexă, o funcție concavă arbitrară este cvasi-concavă.
Funcția este cvasiliniară pe mulțimea numerelor reale pozitive . $f(x)=\ln x$
Funcția este cvasi-concavă pe mulțime (mulțimea perechilor de numere nenegative), dar nu este nici convexă, nici concavă. $f(x_{1},x_{2})=x_{1}x_{2)$ $\mathbb {R} _{+}^{2},$
Funcția este cvasi-convexă și nu este nici convexă, nici continuă . $x\mapsto \lfloor x\rfloor$

Proprietăți

Funcția , unde este o mulțime convexă , este cvasi-convexă dacă și numai dacă pentru toată mulțimea $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\beta \in \mathbb {R} ,$

$X_{\beta}=\{x\in X|f(x)\leqslant \beta \)$ convex

Dovada. Fie mulțimea convexă pentru orice β. Fixăm două puncte arbitrare și luăm în considerare punctul Puncte la . Deoarece mulțimea este convexă, atunci , și, prin urmare, adică inegalitatea dată în definiție este satisfăcută, iar funcția este cvasi-convexă.

X_{\beta )

x_1, x_2\în X

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2},\quad \lambda \in (0,1).

x_{1},x_{2}\in X_{\beta )

{\displaystyle \beta =\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\))

X_{\beta )

\;x\in X_{\beta }

f(x)\leqslant \beta =max\{f(x_{1}),f(x_{2})\},

Fie funcția f cvasi-convexă. Pentru unii fixăm puncte arbitrare Apoi . Deoarece X este o mulțime convexă, atunci pentru orice punct . Din definiția cvasi-convexității rezultă că , adică . Otzhe, este o mulțime convexă.

\beta \in \mathbb {R}

x_{1},x_{2}\in X_{\beta }.

\max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

\lambda \in(0,1)

x=\lambda x_{1}+(1-\lambda )x_{2}\in X

f(x)\leqslant max\{f(x_{1}),f(x_{2})\}\leqslant \beta

x\in X_{\beta )

X_{\beta )

O funcție continuă , unde X este o mulțime convexă în , este cvasi-convexă dacă și numai dacă una dintre următoarele condiții este îndeplinită: $f:X\to \mathbb {R}$ $\mathbb {R}$

f este nedescrescătoare;
f - necrescător;
există un punct astfel încât pentru toate funcția f este necrescătoare, iar pentru toate funcția f este nedescrescătoare. $c\in X$ $t\in X,t\leqslant c,$ $t\in X,t\geqslant c,$

Funcții cvasi-convexe diferențiabile

Fie o funcție diferențiabilă pe X , unde este o mulțime convexă deschisă . Atunci f este cvasi-convex pe X dacă și numai dacă relația este valabilă: $f:X\to \mathbb {R}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$

f(y)\leqslant f(x)\Rightarrow \left\langle f^{'}(x), yx\right\rangle \leqslant 0

pentru toată lumea .

x,y\in X

Fie f o funcție de două ori diferențiabilă. Dacă f este cvasi-convex pe X, atunci următoarea condiție este îndeplinită:

\left\langle f^{'}(x), y\right\rangle =0\Rightarrow \left\langle f^{''}(x)y,y\right\rangle \geqslant 0,

pentru toată lumea .

x\in X,y\in \mathbb {R} ^{n}

Condițiile necesare și suficiente pentru cvasi-convexitate și cvasi-concavitate pot fi date și în ceea ce privește așa-numita matrice hessiană mărginită . Pentru funcție definim determinanții pentru : $f(x_{1},\ldots,x_{m})$ $1\leqslant n\leqslant m$

$D_{n}={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial f}{\partial x_{1)}} și {\frac {\partial f}{\partial x_{2)}} &\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}\\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^ {2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\ cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n))}\\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{2} }}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{ 2}^{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n))}\\\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n} \,\partial x_{1))}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2))}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{vmatrix}}$

Atunci afirmațiile sunt adevărate:

Dacă funcția f este cvasi-convexă pe o mulțime X , atunci D n (x) ≤ 0 pentru tot n și toți x din X .
Dacă funcția f este cvasi-concavă pe mulțimea X , atunci D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 pentru tot x cu X .
Dacă D n (x) ≤ 0 pentru tot n și toți x cu X , atunci funcția f este cvasi-convexă pe mulțimea X .
Dacă D 1 (x) ≤ 0, D 2 (x) ≥ 0, …, (-1) m D m (x) ≤ 0 pentru tot x cu X , funcția f este cvasi-concavă pe mulțimea X .

Operații care păstrează cvasi-convexitatea

Maximul de funcții cvasi-convexe ponderate cu ponderi nenegative, i.e.

f=\max \left\lbrace w_{1}f_{1},\ldots ,w_{n}f_{n}\right\rbrace

Unde

w_{i}\geqslant 0

o compoziție cu funcție nedescrescătoare (dacă este cvasi-convexă, este nedescrescătoare, atunci este cvasi-convexă). $g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $h:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ $f=h\circ g$
minimizarea (dacă f(x, y) este cvasi-convex, C este o mulțime convexă, atunci este cvasi-convexă). $h(x)=\inf _{y\in C}f(x,y)$

Link -uri

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe Convex Optimization Arhivat 13 iulie 2017 la Wayback Machine

Literatură

Alpha C Chiang, Metode fundamentale ale economiei matematice, ediția a treia, McGraw Hill Book Company, 1984.