Grup cvasiciclic

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 19 februarie 2019; verificările necesită 3 modificări .

Un grup p cvasiciclic, pentru un număr prim fix p , este singurul grup p în care exact p rădăcini de gradul p pot fi extrase din orice element. De obicei notat ca Z ( p ∞ )

Grupul p cvasiciclic mai este numit și grupul p Prufer , după matematicianul german Heinz Prüfer .

Proprietăți

O grupă p cvasiciclică poate fi reprezentată ca un subgrup U(1) constând din rădăcini complexe de unitate de gradul p n , unde n trece prin toate numerele naturale:

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\{\exp(2\pi im/p^{n})\mid m\in \mathbb {N} ,\,n\in \ mathbb {N} \}.\;

În mod echivalent, un grup p - cvasiciclic poate fi privit ca un subgrup de Q/Z format din elemente a căror ordine este o putere a lui p :

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z} .

De asemenea , grupul p Prufer poate fi dat de generatori și relații:

\mathbb {Z} (p^{\infty })=\langle \,g_{1},g_{2},g_{3},\ldots \mid g_{1}^{p}=1 ,g_{2}^{p}=g_{1},g_{3}^{p}=g_{2},\dots \,\rangle .

Un grup p cvasiciclic este singurul grup p infinit care este ciclic local (adică, astfel încât orice submulțime finită a elementelor sale generează un grup ciclic ). Este ușor de observat că toate subgrupurile proprii ale unui grup cvasiciclic sunt ciclice.

Un grup cvasiciclic este divizibil .

În teoria grupurilor topologice compacte local , un grup p cvasiciclic echipat cu topologia discretă este dualul lui Pontryagin față de grupul compact de numere p -adice .

Grupurile p cvasiciclice , pentru toate numerele prime posibile p , sunt singurele grupuri infinite astfel încât mulțimea subgrupurilor lor este ordonată liniar prin încorporare:

0\subset \mathbf {Z} /p\subset \mathbf {Z} /p^{2}\subset \mathbf {Z} /p^{3}\subset \cdots \subset \mathbf {Z} (p^{\infty }).

Pe acest lanț de incluziuni , grupul p Prufer este reprezentat ca limita directă a subgrupurilor sale finite.

Ca un modul, grupul p Prufer este artinian , dar nu noetherian (în mod similar, este artinian , dar nu noetherian ). Ca atare, este un contraexemplu pentru posibila afirmație că orice Artinian este un modul Noetherian. $\mathbb {Z}$

Link -uri

grup cvasiciclic (engleză) pe site-ul PlanetMath .
N. N. Williams. Grup cvasiciclic pe site- ul web Wolfram MathWorld .
Jacobson, Nathan. Algebră de bază . - Dover, 2009. - ISBN 978-0-486-47187-7 .
Pierre Antoine Grillet. Algebră abstractă. - Springer, 2007. - ISBN 978-0-387-71567-4 .
DL Armacost și WL Armacost. Despre grupuri p-tetice (engleză) // Pacific J. Math .. - 1972. - Vol. 41, nr. 2 . - P. 295-301.