Modul generat finit

Un modul finit generat peste un inel asociativ este un modul care este generat de un număr finit al elementelor sale. De exemplu, pentru modulul potrivit, aceasta înseamnă că există un set finit de elemente, astfel încât orice element din poate fi reprezentat ca o sumă , unde sunt unele elemente ale inelului . $M$ $A$ $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}\în M$ $M$ $m_{1}a_{1}+m_{2}a_{2}+\ldots +m_{n}a_{n}$ $a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\în A$ $A$

Printre proprietățile strâns legate de generate finit se numără modulele finit reprezentate, finit conectate și coerente. Peste un inel noetherian , toate cele patru proprietăți sunt echivalente.

Modulele generate finit peste un câmp sunt exact spații vectoriale cu dimensiuni finite .

Proprietăți

Imaginea unui modul generat finit sub un homomorfism este, de asemenea, generată finit. În general, submodulele unui modul generat finit nu sunt neapărat generate finit. De exemplu, să considerăm inelul R = Z [ x 1 , x 2 …] de polinoame într-un număr infinit de variabile. Acest inel este generat finit ca un modul R. Luați în considerare submodulul său (adică ideal ) constând din toate polinoamele cu coeficient zero la o constantă. Dacă acest modul ar avea o mulțime generatoare finită, atunci fiecare monom x i ar trebui să fie conținut într-unul dintre polinoamele acestei mulțimi, ceea ce este imposibil.

Un modul se numește Noetherian dacă oricare dintre submodulele sale este generat finit. Mai mult, un modul peste un inel noetherian este generat finit dacă și numai dacă este noetherian.

Fie 0 → M′ → M → M′′ → 0 o succesiune exactă de module. Dacă M′ și M′′ sunt generați finit aici, atunci M este, de asemenea, generat finit. Anumite afirmații sunt și ele adevărate, parțial inverse față de aceasta. Dacă M este generat finit și M'' este reprezentat finit (aceasta este o condiție mai puternică decât a fi generat finit, vezi mai jos), atunci M′ este generat finit.

În algebra comutativă , există o anumită legătură între a fi generat finit și elementele întregi . Se spune că o algebră comutativă A peste R este generată finit peste R dacă există o mulțime finită de elemente, astfel încât A este cel mai mic subinel al lui A care conține R și aceste elemente. Aceasta este o condiție mai slabă decât a fi generată finit: de exemplu, algebra polinomială R [ x ] este o algebră generată finit, dar nu un modul generat finit. Următoarele afirmații sunt echivalente cu [1] :

A este un modul finit generat;
A este o algebră generată finit care este o extensie întreagă a lui R .

Module finit prezentate, finit conectate și coerente

Proprietatea generată finit poate fi formulată după cum urmează: un modul generat finit M este un modul pentru care există un epimorfism

f : R k → M .

Luați în considerare acum epimorfismul

φ : F → M

de la un modul liber F la M .

Dacă nucleul epimorfismului φ este generat finit, M se numește modul finit conectat . Deoarece M este izomorf cu F /ker(φ), această proprietate poate fi exprimată astfel: M se obține dintr-un modul liber prin adăugarea unui număr finit de relații .
Dacă nucleul epimorfismului φ este finit generat și rangul lui F este finit, atunci M se numește modul finit prezentat . Aici M are un număr finit de generatoare (imaginile generatoarelor F ) și un număr finit de relații (generatoarele ker(φ)).
Un modul coerent este un modul finit generat, ale cărui submodule finit generate sunt finit reprezentate.

Dacă inelul de masă R este noetherian , toate cele patru condiții sunt echivalente.

Deși condiția de coerență pare mai „greoaie” decât condițiile finit conectate și reprezentate, este, de asemenea, interesantă deoarece categoria modulelor coerente este abeliană , în contrast cu categoria modulelor finit generate sau finit prezentate.

Vezi și

Note

↑ Kaplansky, 1970 , Teorema 17, p. unsprezece.

Literatură

Atiyah M., McDonald I. . Introducere în algebra comutativă. - M . : Factorial Press, 2003. - ISBN 5-88688-067-4 .
Bourbaki, Nicolas. . Algebră comutativă. Capitolele 1-7. Tradus din franceză. Retipărire a traducerii în engleză din 1989. - Berlin: Springer-Verlag, 1998. - xxiv + 625 p. - (Elemente de matematică). — ISBN 3-540-64239-0 .
Kaplansky, Irving. . inele comutative. - Boston: Allyn and Bacon Inc., 1970. - x + 180 p.
Lam T.Y. Prelegeri despre module și inele. - Springer-Verlag, 1999. - (Texte de diplomă de matematică. Nr. 189). — ISBN 978-0-387-98428-5 .
Lang, Serge. . Algebră. a 3-a ed. - Addison-Wesley , 1997. - ISBN 978-0-201-55540-0 .