Întregul element

Un element întreg este un element al unui inel comutativ dat cu unitate în raport cu subinelul , care este rădăcina polinomului redus cu coeficienți în , adică astfel încât pentru care există coeficienți astfel încât: $B$ $A\subset B$ $A$ $b$ $a_j \în A$

b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}=0

Dacă fiecare element este un întreg peste , inelul se numește un întreg de extensie (sau doar un inel, întreg peste ). $B$ $A$ $B$ $B$ $A$

Dacă și sunt câmpuri , termenii „integral peste...” și „extensie integrală” corespund termenilor „algebric peste...” și „ extensie algebrică ”. Un caz special, deosebit de important în teoria numerelor , este numerele complexe care sunt numere întregi peste , numite numere întregi algebrice . $A$ $B$ $\mathbb {Z}$

Mulțimea tuturor elementelor întreg peste , formează un inel; se numește închidere întreg în . Închiderea întregului numerelor raționale într-o extensie de câmp finit se numește inelul câmpurilor întregi , acest obiect este fundamental pentru teoria numerelor algebrice . $B$ $A$ $A$ $B$ $k$ $\mathbb {Q}$ $k$

Numerele întregi sunt singurele elemente care sunt peste numere întregi (ceea ce poate explica utilizarea termenului „întreg”). Numerele întregi gaussiene , ca elemente ale câmpului numerelor complexe, sunt numere întregi peste . O închidere întreg într -un câmp circular este . $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q} (\zeta )$ $\mathbb {Z} [\zeta ]$

Dacă este închiderea algebrică a câmpului , atunci este integral peste . Dacă un grup finit acționează asupra unui inel prin homomorfisme de inel, atunci este un număr întreg peste mulțimea elementelor care sunt puncte fixe ale acțiunii grupului. $\overline{k}$ $k$ $\overline{k}[x_1, \dots, x_n]$ $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ $G$ $A$ $A$

Proprietăți

Integritatea este o relație tranzitivă: dacă inelul este integral peste și integral peste , atunci este integral peste . $C$ $B$ $B$ $A$ $C$ $A$

Există o serie de afirmații care sunt echivalente cu a spune că un element al unui inel este integral peste : $b$ $B$ $A$

un subring al unui inel este un -modul finit generat ; $A[b]$ $B$ $A$
există un subinel al inelului care conține și , și care este un -modul finit generat ; $C$ $B$ $A$ $b$ $A$
există un modul finit generat al inelului astfel încât și din aceasta rezultă că . $A$ $M$ $B$ $bM\subset M$ $b'M=0$ $b=0$

Este ușor de dedus din a treia proprietate că mulțimea tuturor elementelor întregi peste este un subinel (închis sub adunare și înmulțire), se numește închiderea întregului în . Dacă închiderea întregului coincide cu inelul însuși , se numește închis integral în . De asemenea, implică faptul că, dacă întregul este peste , atunci este uniunea (sau, echivalent, limita directă ) a subinelelor care sunt -module finit generate . $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$ $B$ $A$ $B$ $A$

Teorema de ridicare Cohen-Seidenberg : dacă este o extensie întreagă a inelului , atunci pentru fiecare ideal prim din există un ideal prim în , că . $S$ $R$ $eu$ $S$ $J$ $R$ $J\cap S=I$

Un inel închis integral

Un inel integral închis este un inel integral , închis integral în câmpul său de câte .

Dacă este un inel închis integral cu un câmp de câte și este o extensie finită a lui , atunci elementul este integral peste dacă și numai dacă coeficienții polinomului său minim aparțin : aceasta este o condiție mai puternică decât o integrală, pentru care existența unui polinom arbitrar cu această proprietate este suficientă. Orice inel factorial este închis integral. $A$ $K$ $L$ $K$ $L$ $A$ $A$

Dacă este un inel integral Noetherian , atunci este închis integral dacă și numai dacă (1) coincide cu intersecția tuturor localizărilor față de un ideal prim și (2) localizarea față de un ideal prim de înălțime 1 (adică, care nu conține alte idealuri prime diferite de zero) este inelul Dedekind . De asemenea, un inel Noetherian este închis integral dacă și numai dacă este un inel Krull . $A$ $A$ $A$ $A$ $A$

Inel normal

Serre și Grothendieck definesc un inel normal ca un inel a cărui localizare de către orice ideal prim este integral închisă. Nu există nilpotenți non-zero într-un astfel de inel [1] . Dacă este un inel noetherian ale cărui localizări în raport cu idealurile maxime sunt integrale, atunci este un produs finit al inelelor integrale. În acest caz, dacă este un inel normal Noetherian, atunci domeniile din produs sunt integral închise [2] . În schimb, produsul direct al inelelor închise integral este normal. $A$ $A$ $A$

Inel complet integral închis

Un element al câmpului coeficient al unui inel integral este numit aproape întreg peste dacă există astfel încât pentru orice natural . Se spune că un inel este complet închis integral dacă orice element aproape integral peste el este conținut în . Inelele complet închise sunt integral închise. În schimb, inelele Noetherian închise integral sunt complet închise integral. $X$ $K$ $A$ $A$ $d\în A$ $dx^n\în A$ $n$ $A$ $A$

Inelul seriei de putere formale peste un inel complet închis este complet închis, în timp ce acest lucru nu este valabil pentru inele arbitrare închise integral.

Localitatea proprietății integral închise

Următoarele condiții pentru un inel integral sunt echivalente: $A$

$A$ întreg închis;
localizarea în raport cu orice ideal prim este integral închisă; $A$
localizarea în raport cu orice ideal maxim este integral închisă. $A$

Asemenea proprietăți de inel sunt numite proprietăți locale . $A$

Note

↑ Dacă localizările unui inel comutativ peste toate idealurile maxime nu conțin nilpotenți (de exemplu, sunt integrali), atunci nici ele nu îi conțin. Într-adevăr, dacă este un element diferit de zero și n =0, atunci ) (elementele a căror înmulțire anulează ) este conținută într-un ideal maxim . Imaginea în localizarea w este diferită de zero, deoarece altfel pentru unii , o contradicție. Prin urmare, localizarea în raport cu conține un nilpotent diferit de zero. $R$ $R$ $X$ $R$ $X$ $\mathrm {Ann} (x)$ $X$ $\mathfrak{m}$ $X$ $\mathfrak{m}$ $xs = 0$ $s \nu\în \mathfrak{m}$ $R$ $\mathfrak{m}$
↑ Matsumura 1989, p. 64

Literatură

Bourbaki, Algebră comutativă.
Kaplansky, Irving. Inele comutative (neopr.) . - University of Chicago Press , 1974. - (Prelegeri de matematică). — ISBN 0-226-42454-5 .
Matsumura, Hideyuki (1989), Teoria inelului comutativ, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (ed. a doua), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6 .