Criteriul Eisenstein este un criteriu de ireductibilitate a unui polinom , numit după matematicianul german Ferdinand Eisenstein . În ciuda numelui (tradițional), este tocmai un semn, adică o condiție suficientă - dar deloc necesară, așa cum s-ar putea presupune, pe baza semnificației matematice a cuvântului " criteriu " (vezi mai jos).
Fie un polinom peste inelul factorial R ( ), iar pentru un prim , sunt îndeplinite următoarele condiții:
Atunci polinomul este ireductibil peste F , câmpul fracțiilor inelului R .
Acest criteriu este aplicat cel mai adesea când R este inelul numerelor întregi și F este câmpul numerelor raționale .
Să presupunem opusul: , unde și sunt polinoame peste F de grade diferite de zero. Din lema Gauss rezultă că ele pot fi considerate ca polinoame peste R. Avem:
Prin presupunerea , și R este factorial, deci oricare sau , dar nu ambele, deoarece . Lasă și . Toți coeficienții nu pot fi divizibili cu , deoarece altfel ar fi adevărat pentru . Fie indicele minim pentru care nu este divizibil cu . Asta implică:
Din moment ce și pentru toți atunci , dar acest lucru este imposibil, deoarece prin condiție și . Teorema a fost demonstrată.