Cercul lui Mohr

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 mai 2022; verificările necesită 2 modificări .

Cercul Mohr este o reprezentare grafică a tensiunilor normale și a tensiunilor de forfecare dezvoltată de profesorul Otto Mohr (1835-1918). [1] .

Cercul Mohr poate fi folosit și pentru a găsi planurile principale și tensiunile principale în reprezentarea grafică, iar aceasta este una dintre cele mai ușoare moduri de a face acest lucru. [2]

Istorie

Prima persoană care a creat o reprezentare grafică a tensiunilor pentru tensiunile longitudinale și transversale ale unei grinzi orizontale îndoite a fost Karl Kuhlmann . Contribuția lui Mohr este de a folosi această abordare pentru stările de tensiuni plane și în vrac și de a defini un criteriu de rezistență bazat pe cercul de stres [3] .

Sensul fizic

Forțele interne apar între particulele unui corp deformabil continuu ca reacție la forțele externe aplicate: suprafață și volum . Această reacție este în concordanță cu a doua lege a lui Newton aplicată particulelor obiectelor materiale. Mărimea intensității acestor forțe interne se numește stres mecanic . Deoarece corpul este considerat solid, aceste forțe interne sunt distribuite continuu pe întregul volum al obiectului luat în considerare.

În inginerie, distribuția tensiunilor într-un obiect este determinată prin analiza stării de tensiune-deformare a acestuia pentru a obține valori ale tensiunilor în fiecare punct material al obiectului. Potrivit lui Cauchy, tensiunea în orice punct al unui corp de material solid este complet determinată de cele nouă componente ale tensoarelor tensoarelor : $\sigma_{ij}$ ${\boldsymbol {\sigma })$

{\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}& \sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrice}}\right]\equiv \left [{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\ \\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrice}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}& \tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy} &\sigma _{z}\\\end{matrice}}\right]

Odată ce distribuția tensiunilor a fost determinată în raport cu sistemul de coordonate , poate fi necesar să se determine componentele tensorului tensiunii într-un anumit punct material în raport cu sistemul de coordonate rotit , adică tensiunile care acționează pe un sit cu diferite orientări care trec prin punctul de interes pentru noi. De exemplu, poate fi necesar să se găsească efortul normal maxim sau efortul maxim de forfecare și direcția în care acţionează. Pentru a rezolva această problemă, este necesară transformarea tensorului tensiunii. Reprezentarea grafică a acestei transformări tensorului tensiunii este cercul Mohr. $(X y)$ $P$ $(x',y')$

Ecuațiile cercului lui Mohr

Pentru a obține ecuația cercului Mohr pentru o stare de efort plană, se consideră un corp material bidimensional infinitezimal, situat în jurul unui punct material cu o unitate de suprafață într-o direcție paralelă cu planul - , adică perpendicular pe vizualizator. $P$ $y$ $z$

Pe baza condițiilor de echilibru pentru un corp de material infinit de mic, valorile tensiunii normale și efortului de forfecare sunt egale cu: $\sigma _{\mathrm {n} }$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$

\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +{\frac {1}{2}}\tau _{xy}\sin 2\theta

\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +{\frac { 1}{2}}\tau _{xy}\cos 2\theta

Aceste două ecuații sunt o reprezentare parametrică a cercului Mohr.

Derivarea ecuațiilor parametrice ale cercului Mohr

Luați în considerare condițiile de echilibru pentru o prismă triunghiulară formată prin tăierea unui paralelipiped elementar cu o platformă înclinată. Stresul normal acționează asupra unei zone a zonei . Din egalitatea proiecțiilor forțelor pe axă ( axa ) se obține: $\sigma _{\mathrm {n} }$ $dA$ $\sigma _{\mathrm {n} }$ $X'$

\ {\begin{aligned}\sum F_{x'}&=\sigma _{\mathrm {n} }dA-\sigma _{x}dA\cos ^{2}\theta -\sigma _ {y}dA\sin ^{2}\theta -\tau _{xy}dA\cos \theta \sin \theta -\tau _{xy}dA\sin \theta \cos \theta =0\\\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{x}\cos ^{2}\theta +\sigma _{y}\sin ^{2}\theta +2\tau _{xy}\sin \ theta \cos \theta \\\end{aliniat}}

Se stie ca

\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2)),\qquad \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\ theta }{2}},\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Atunci poți obține

\sigma _{\mathrm {n} }={\frac {1}{2}}(\sigma _{x}+\sigma _{y})+{\frac {1}{2}} (\sigma _{x}-\sigma _{y})\cos 2\theta +\tau _{xy}\sin 2\theta

Tensiunea de forfecare acționează și pe un loc cu o suprafață de . Din egalitatea proiecțiilor forțelor pe axă ( axa ) se obține: ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$ $dA$ ${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} ))$ $tu$

\ {\begin{aligned}\sum F_{y'}&=\tau _{\mathrm {n} }dA+\sigma _{x}dA\cos \theta \sin \theta -\sigma _{ y}dA\sin \theta \cos \theta -\tau _{xy}dA\cos ^{2}\theta +\tau _{xy}dA\sin ^{2}\theta =0\\\tau _ {\mathrm {n} }&=-(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin \theta \cos \theta +\tau _{xy}\left(\cos ^{2}\ theta -\sin ^{2}\theta \right)\\\end{aliniat}}

Se știe că

\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta ,\qquad \sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta

Atunci poți obține

\tau _{\mathrm {n} }=-{\frac {1}{2}}(\sigma _{x}-\sigma _{y})\sin 2\theta +\tau _{ xy}\cos 2\theta

Note

↑ Keaton JR (2018) Cercul Mohr. În: Bobrowsky PT, Marker B. (eds) Encyclopedia of Engineering Geology. Seria Enciclopedia Științelor Pământului. Springer, Cham. https://doi.org/10.1007/978-3-319-73568-9_206
↑ Tensiunea principală și planul principal . www.engineeringapps.net . Preluat la 25 decembrie 2019. Arhivat din original la 25 decembrie 2019. (nedefinit)
↑ Parry, Richard Hawley Grey. Cercuri Mohr, căi de stres și geotehnică . - 2. - Taylor & Francis , 2004. - P. 1-30. - ISBN 0-415-27297-1 .