Lema lui Verrier este o teoremă în geometria unui triunghi , legată de proprietățile cercurilor circumscrise și semiînscrise ale unui triunghi.
Dacă cercul ω atinge laturile AB,BC și, respectiv, arcul AC ale cercului circumscris triunghiului ABC, în punctele C 1 ,A 1 ,B 1 , atunci punctele C 1 ,I,A 1 , unde I este incentrul triunghiului ABC, sunt coliniare .
Rețineți că, conform lemei lui Arhimede, dreapta B 1 A 1 trece prin mijlocul arcului BC al cercului circumscris care nu conține punctul A . În mod similar, linia B 1 C 1 trece prin punctul de mijloc al arcului AB care nu conține vârful C. Să notăm punctele de mijloc ale acestor arce ca A 0 , respectiv C 0 . Din aceeași lemă lui Arhimede rezultă că A 0 B 2 = A 0 A 1 · A 0 B. Prin urmare, gradul punctului A 0 este același față de cercul ω și punctul B. O afirmație similară este adevărată pentru punctul C 0 . De aici rezultă că dreapta A 0 C 0 este axa radicală a punctului B și a cercului ω. Prin urmare, dreapta A 0 C 0 trece prin punctele medii ale segmentelor BA 1 ,BC 1 . Prin urmare, linia A 0 C 0 conține linia mediană FE a triunghiului C 1 BA 1 . Prin urmare, imaginea punctului B, atunci când reflectă punctul B în raport cu dreapta A 0 C 0 , se află pe dreapta A 1 C 1 .
Pe de altă parte, după lema tridentului, IC 0 = BC 0 și IA 0 = BA 0 . Prin urmare, punctul B, atunci când este reflectat în raport cu dreapta A 0 C 0 , merge la punctul I. De aici rezultă că punctul I se află pe dreapta A 1 C 1 .
Cercul ω se numește semicercul triunghiului ABC