Lema tridentului

Lema trident , numită și lema trefoil și lema lui Mansion , este o teoremă în geometria triunghiului legată de proprietățile cercului , excercului și circumcercului unui triunghi .

Lema trident este folosită ca o declarație auxiliară în demonstrarea multor teoreme, în special formula lui Euler sau în demonstrarea existenței cercului lui Euler .

Numele de „lema conacului” a fost dat în onoarea matematicianului belgian Paul Mansion . Numele „lemă trident” a fost dat datorită asemănării cu arma cu același nume a construcției cheii pentru lemă (roșu în figurile de mai jos).

Formulare

Fie punctul triunghiului centrul cercului , punctul este centrul cercului opus vârfului , iar punctul este punctul de intersecție al segmentului cu arcul cercului circumscris (vezi dreapta). Atunci punctul este echidistant de , , și . $ABC$ $eu$ $In absenta}$ $A$ $L$ $II_{a)$ $L$ $eu$ $In absenta}$ $B$ $C$

Versiuni speciale ale acestei declarații au diferite nume.

Teorema lui Mansion [1] : echidistant de și . $L$ $eu$ $In absenta}$
Lema trifoiului [2] , sau lema tridentului [3] , sau lema lui Mansion [4] : echidistant de , și . $L$ $eu$ $B$ $C$
Lema trident [5] : echidistantă de , , și . $L$ $eu$ $In absenta}$ $B$ $C$

O altă opțiune pentru specificarea unui punct este ca centrul unui arc al cercului circumscris care nu conține un punct [4] . $L$ $î.Hr$ $A$

Dovada

Prin noi înțelegem unghiuri, respectiv. Dacă raza intersectează cercul circumscris într-un punct , atunci este punctul mijlociu al arcului , segmentul este bisectoarea unghiului . Desenând un segment de linie , observăm că $\unghi A,\unghi B$ $\angle BAC,\angle ABC$ $AI$ $L$ $L$ $î.Hr$ $AL$ $\angle A$ $BI$

\angle BIL=\angle A/2+\angle B/2,

deoarece exteriorul triunghiului de asemenea $\angle BIL$ $\triunghi AIB$

\angle LBI=\angle LBC+\angle CBI=\angle A/2+\angle B/2,

deoarece și sunt egale, deoarece se bazează pe același arc .

\angle LBC

\angle LAC=\angle A/2

LC

Aceasta înseamnă că triunghiul este isoscel, adică egalitatea rezultă din faptul că același unghi se sprijină pe ambele acorduri . Astfel, $\triunghi BLI$ $BL=LI.$ $CL=BL$ $\angle A/2.$ $BL=LI=LC.$

Am arătat că . Acum să demonstrăm că „mânerul” tridentului este egal cu aceeași valoare. $BL=LI=LC$ $LI_{a}$

Extindem partea dincolo de un punct și luăm un punct undeva pe această extensie . Prin înțelegem prin înțelegem unghiul $AB$ $B$ $E$ $\angle A$ $\angle BAC,$ $\angle B$ $\angle EBC=180^{\circ }-\angle ABC.$

Atunci trebuie să înțelegem că triunghiul este isoscel, adică că . $\triunghi BLI_{a}$ $\angle LBI_{a}=\angle LI_{a}B$

O parte,

\angle LBI_{a}=\angle B/2-\angle A/2

și

\angle EBI_{a}=\angle A/2+\angle BI_{a}A

deoarece exteriorul în triunghi: adică,

\angle EBI_{a}

\triangle BI_{a}A,

\angle B/2-\angle A/2=\angle BI_{a}A

Variații și generalizări

Lema trident pentru două centre de excercuri (lema trident „exterioară”)

Legătura cu cercul Euler

Prin lema trident se poate dovedi existența cercului Euler .

Luați în considerare un triunghi ascuțit ABC. Rețineți că patrulaterele , , sunt înscrise (Fig. 1). Prin urmare, unghiurile sunt egale (Fig. 2). $AH_{c}HH_{b)$ $BH_{c}HH_{a)$ $H_{b}HH_{a}C$ $\measuredangle HH_{b}H_{c}=\measuredangle HAH_{c}=\measuredangle HCH_{a}=\measuredangle HH_{b}H_{a)$

Din aceasta rezultă că este bisectoarea triunghiului . Din motive complet similare, și , de asemenea, bisectoare în acest triunghi (Fig. 3). De asemenea, puteți observa că sunt bisectoarele exterioare ale triunghiului (pentru că fiecare dintre ele este perpendiculară pe bisectoarea sa interioară). Prin urmare, putem aplica lema trident de trei ori, pentru fiecare dintre laturi (Figura 4). $H_{b}H$ $\triangle H_{c}H_{b}H_{a)$ $H_{a}H$ $H_{c}H$ $AB,$ $BC,$ $CA$ $\triangle H_{c}H_{b}H_{a)$

Din aceasta obținem că punctele medii ale segmentelor se află pe un cerc circumscris unui ortotriunghi . Acum aplicăm lema tridentului exterior de trei ori (Figura 5). $HA,HB,HC$

Obținem că punctele medii ale laturilor se află pe un cerc circumscris unui ortotriunghi. $AB,BC,CA$

Notă

Pentru a demonstra existența cercului Euler pentru un triunghi obtuz cu unghi obtuz , este suficient să luăm în considerare un triunghi ascuțit cu ortocentru și să-i aplicăm același raționament. $ABC$ $A$ $BCH$ $A$

Vezi și

Note

↑ Problema 52395 Copie de arhivă din 4 martie 2016 la Wayback Machine // „The system of problems in the geometry of R. K. Gordin”
↑ R. K. Gordin. Teoreme și probleme de geometrie școlară. Nivelurile de bază și de profil. - Ed. a 3-a. - MTSNMO, 2018. - P. 43. - ISBN 978-5-4439-2681-0 .
↑ Akopyan A. V. Geometrie în imagini .
↑ 1 2 Emelyanov L. A. Schiffler punct: în memoria lui I. F. Sharygin . - Matematica la scoala, 2006. - Nr. 6 . - S. 58-60 . — ISSN 0130-9358 .
↑ R. N. Karasev. Sarcini pentru cercul matematic școlar / R. N. Karasev, V. L. Dolnikov, I. I. Bogdanov, A. V. Akopyan. - p. 4.