Set ordonat liniar

O mulțime ordonată liniar ( lanț ) este o mulțime parțial ordonată în care orice pereche de elemente este comparabilă, adică pentru oricare două elemente și sau are loc . $A$ $b$ $a\leqslant b$ $b\leqslant a$

Unul dintre conceptele centrale în teoria ordinii ; joacă un rol important în algebra generală , în special, sunt studiate în special grupurile ordonate , inelele ordonate , câmpurile ordonate . Cel mai important caz special de mulțimi ordonate liniar sunt mulțimile complet ordonate .

Definiții înrudite

O secțiune a unei mulțimi ordonate liniar este o partiție a acesteia în două submulțimi și astfel încât , și pentru orice și : . Clasele și se numesc clasele inferioare și, respectiv, superioare. $P$ $A$ $B$ $A\cup B=P$ $A\cap B=\varnimic$ $a\în A$ $b\în B$ $a\leqslant b$ $A$ $B$

Se disting următoarele tipuri de secțiuni:

jump —clasa inferioară are cel mai mare element, iar clasa superioară are cel mai mic;
Dedekind cut — nu există cel mai mic element în clasa superioară sau nu există cel mai mare element în clasa inferioară, dar nu ambele;
gap — clasa inferioară nu are cel mai mare element, iar clasa superioară nu are cel mai mic.

O mulțime ordonată liniar se numește continuă dacă toate secțiunile sale sunt Dedekind.

O submulțime a unei mulțimi ordonate liniar se numește densă dacă fiecare interval non-singleton al mulțimii conține elemente aparținând lui . $D$ $P$ $P$ $D$

Proprietăți

O submulțime a unei mulțimi ordonate liniar este ea însăși ordonată liniar.

Orice element maxim (minim) al unei mulțimi ordonate liniar se dovedește a fi cel mai mare (cel mai mic). [unu]

Mulțimea de numere reale ordonate liniar poate fi caracterizată ca o mulțime ordonată liniar continuă care nu are nici cele mai mari, nici cele mai mici elemente, dar conține o submulțime densă numărabilă .

Orice mulțime numărabilă ordonată liniar este izomorfă cu o anumită submulțime a segmentului cu ordinea moștenită de la . $[0, 1]$ $\mathbb {R}$

O rețea este izomorfă la o submulțime dintr-o mulțime de numere întregi ordonate liniar dacă și numai dacă fiecare dintre rețelele sale este o retragere . $L$

Note

↑ Opusul este întotdeauna adevărat - cel mai mare element din orice mulțime este maximul