Retrage

O retragere a unui spațiu topologic este un subspațiu al acestui spațiu pentru care există o retragere pe ; adică o hartă continuă care este identică pe (adică astfel încât pentru toți ). $X$ $A$ $X$ $A$ $f:X\la A$ $A$ $f(x)=x$ $x\în A$

O retragere a unui spațiu topologic moștenește multe proprietăți importante ale spațiului însuși. În același timp, poate fi aranjat mult mai simplu decât el însuși, mai vizibil, mai convenabil pentru un anumit studiu.

Exemple

Un set de un punct este o retragere a unui segment, drept, plan etc.
Fiecare set închis nevid al unui set perfect Cantor este retractul său.
$n$ sfera -dimensională nu este o retragere a bilei -dimensionale a spațiului euclidian, deoarece bila are grupuri de omologie zero , iar sfera are un grup diferit de zero . Acest lucru contrazice existența unei retractări, deoarece retragerea induce un epimorfism al grupurilor de omologie. $(n+1)$ $H_n$

Definiții înrudite

Un subspațiu al unui spațiu se numește retractare de vecinătate dacă există un subspațiu deschis care conține , a cărui retractare este . $A$ $X$ $X$ $A$ $A$
Un spațiu metrizabil se numește retragere absolută ( retractare de vecinătate absolută ) dacă este o retragere (respectiv, o retragere de vecinătate) a fiecărui spațiu metrizabil care conține ca subspațiu închis. $X$ $X$
Dacă retragerea unui spațiu pe subspațiul său este omotopică cu maparea identică a spațiului pe el însuși, atunci se numește retragere a spațiului de deformare . $X$ $A$ $X$ $A$ $X$
Un operator liniar pe un spațiu vectorial topologic care este o retracție se numește proiector continuu . Se spune că un subspațiu vectorial al unui spațiu vectorial topologic este completat dacă există o proiecție continuă . $P$ $E$ $F$ $E$ $P\colon E\la F$

Proprietăți

Un subspațiu al unui spațiu este retragerea acestuia dacă și numai dacă orice mapare continuă a spațiului într-un spațiu topologic arbitrar poate fi extinsă la o mapare continuă a întregului spațiu în . $A$ $X$ $A$ $Y$ $X$ $Y$
Dacă spațiul este Hausdorff , atunci fiecare retragere a spațiului este închisă în . $X$ $X$ $X$
Orice proprietate care este păstrată în timpul tranziției la o imagine continuă, precum și orice proprietate moștenită de subspații închise, este stabilă în ceea ce privește tranziția la o retractare. În special, atunci când trece la o retractare,
- compactitate ,
- conexiune ,
- conexiune liniară ,
- separabilitate ,
- limita superioară a dimensiunii ,
- paracompactitate ,
- normalitate ,
- compactitate locală ,
- conectivitate locală .
Dacă spațiul are proprietatea unui punct fix , i.e. pentru fiecare hartă continuă există un punct astfel încât , atunci fiecare retragere de spațiu are proprietatea punctului fix. $X$ $f:X\la X$ $x\în X$ $f(x)=x$ $X$
O retragere absolută de cartier este un spațiu contractabil local .
Retragerea induce un epimorfism al grupelor de omologie .

Literatură

Borsuk K., Teoria retractelor, trad. din engleză, M., 1971.