Logica propozițională

Logica propozițională , logica propozițională ( lat. propositio - „enunț” [1] ) sau calculul propozițional [2] , tot logica de ordin zero , este o ramură a logicii simbolice care studiază enunțurile complexe formate din cele simple și relațiile lor. Spre deosebire de logica predicatelor , logica propozițională nu ia în considerare structura internă a enunțurilor simple, ci doar ține cont de ce conjuncții și în ce ordine sunt combinate enunțurile simple în complexe [3] .

În ciuda importanței și sferei sale largi, logica propozițională este cea mai simplă logică și are mijloace foarte limitate pentru studiul judecăților [2] .

Limbajul logicii propoziționale

Limbajul logicii propoziționale (limbajul propozițional [4] ) este un limbaj formalizat menit să analizeze structura logică a propozițiilor complexe [1] .

Sintaxa logicii propoziționale

Simboluri inițiale sau alfabetul limbajului logic propozițional [5] :

set de variabile propoziționale (litere propoziționale):

Var=\{p,q,r...\}

conjunctive propoziționale (conjuncții logice):

Simbol	Sens
$\neg$	Semn negativ
$\teren$ sau &	Semn de conjuncție ("ȘI logic")
$\vee$	Semn de disjuncție („SAU logic”)
$\sageata dreapta$	semn de implicare

Caractere auxiliare: paranteză din stânga (, paranteză din dreapta). [6]

Formule propoziționale

O formulă propozițională este un cuvânt în limbajul logicii propoziționale [7] , adică o secvență finită de caractere alfabetice construită după regulile expuse mai jos și formând o expresie completă în limbajul logicii propoziționale [1] .

Definiția inductivă a mulțimii de formule logice propoziționale : [4] [1] $fm$

Dacă , atunci (fiecare variabilă propozițională este o formulă); $p\in Var$ $p\in Fm$
dacă este o formulă, atunci este și o formulă; $A$ $\neg A$
dacă și sunt formule arbitrare, atunci , , sunt și formule. $A$ $B$ $(A\penă B)$ $(A\vee B)$ $(A\la B)$

Nu există alte formule în limbajul logicii propoziționale.

Forma Backus-Naur , care definește sintaxa logicii propoziționale, are notația:

$A::=p\;|\;(\neg A)\;|\;(A\land A)\;|\;(A\lor A)\;|\;(A\la A) )$

Literele latine majuscule și altele care sunt folosite în definirea unei formule nu aparțin limbajului logicii propoziționale, ci metalanjului său, adică limbajul care este folosit pentru a descrie limbajul logicii propoziționale în sine. Expresiile care conțin metaletere și altele nu sunt formule propoziționale, ci scheme de formule. De exemplu, o expresie este o schemă care se potrivește cu formule și altele [1] . $A$ $B$ $\neg A$ $(A\la B)$ $(A\penă B)$ $(p\penă q)$ $(p\wedge (r\vee s))$

În ceea ce privește orice succesiune de caractere alfabetice ale limbajului logicii propoziționale, se poate decide dacă este sau nu o formulă. Dacă această secvență poate fi construită în conformitate cu paragrafele. 1-3 definiții de formule, atunci este o formulă, dacă nu, atunci nu este o formulă [1] .

Convenții de paranteze

Deoarece există prea multe paranteze în formulele construite prin definiție, uneori nu sunt necesare pentru o înțelegere fără ambiguitate a formulei, există o convenție despre paranteze , conform căreia unele dintre paranteze pot fi omise. Înregistrările cu paranteze omise sunt restaurate conform următoarelor reguli.

Dacă parantezele exterioare sunt omise, acestea sunt restaurate.
Dacă există două conjuncții sau disjuncții una lângă alta (de exemplu, ), atunci partea cea mai din stânga este închisă mai întâi între paranteze (adică aceste conjunctive sunt lăsate asociative ). $A\penă B\pană C$
Dacă în apropiere există diferite pachete, atunci parantezele sunt aranjate în funcție de priorități: și (de la cel mai mare la cel mai mic). $\neg ,\wedge ,\vee$ $\la$

Când vorbim despre lungimea unei formule , ele înseamnă lungimea formulei implicite (restaurate), și nu notația abreviată.

De exemplu: intrarea înseamnă formula , iar lungimea sa este 12. $A\vee B\wedge\neg C$ $(A\vee (B\wedge (\neg C)))$

Formalizare și interpretare

Ca orice alt limbaj formalizat , limbajul logicii propoziționale poate fi considerat ca ansamblul tuturor cuvintelor construite folosind alfabetul acestui limbaj [8] . Limbajul logicii propoziționale poate fi privit ca un set de tot felul de formule propoziționale [4] . Propozițiile din limbajul natural pot fi traduse în limbajul simbolic al logicii propoziționale, unde vor fi formule ale logicii propoziționale. Procesul de traducere a unui enunț într-o formulă în limbajul logicii propoziționale se numește formalizare. Procesul invers de substituire a propozițiilor specifice cu variabile propoziționale se numește interpretare [9] .

Axiome și reguli de inferență ale unui sistem formal de logică propozițională

O variantă posibilă a axiomatizării ( hilbertiene ) a logicii propoziționale este următorul sistem de axiome:

$A_{1}:A\rightarrow (B\rightarrow A)$ ;

$A_{2}:(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow ((A\rightarrow B)\rightarrow (A\rightarrow C))$ ;

$A_{3}:A\penă B\rightarrow A$ ;

$A_{4}:A\penă B\rightarrow B$ ;

$A_{5}:A\rightarrow (B\rightarrow (A\wedge B))$ ;

$A_{6}:A\rightarrow (A\vee B)$ ;

$A_{7}:B\săgeată la dreapta (A\vee B)$ ;

$A_{8}:(A\rightarrow C)\rightarrow ((B\rightarrow C)\rightarrow ((A\vee B)\rightarrow C))$ ;

$A_{9}:\neg A\rightarrow (A\rightarrow B)$ ;

$A_{{10}}:(A\rightarrow B)\rightarrow ((A\rightarrow \neg B)\rightarrow \neg A)$ ;

$A_{{11}}:A\vee \neg A$ .

împreună cu singura regulă:

${\frac {A\quad (A\rightarrow B)}{B}}$ ( modus ponens )

Teorema de corectitudine a calculului propozițional afirmă că toate axiomele enumerate mai sus sunt tautologii , iar folosind regula modus ponens , numai propoziții adevărate pot fi obținute din propoziții adevărate. Demonstrarea acestei teoreme este banală și se reduce la o verificare directă. Mult mai interesant este faptul că toate celelalte tautologii pot fi obținute din axiome folosind regula de inferență - aceasta este așa-numita teoremă de completitudine a logicii propoziționale.

Tabelele de adevăr ale operațiilor de bază

Sarcina principală a logicii propoziționale este de a stabili valoarea de adevăr a unei formule dacă sunt date valorile de adevăr ale variabilelor incluse în ea. Valoarea de adevăr a formulei în acest caz este determinată inductiv (cu pașii care au fost utilizați în construirea formulei) folosind tabele de adevăr ale conectivului [10] .

Fie mulțimea tuturor valorilor de adevăr și fie mulțimea variabilelor propoziționale. Atunci interpretarea (sau modelul) limbajului logic propozițional poate fi reprezentată ca o mapare $\mathbb {B}$ $\{0,1\}$ $Var$

M\colon Var\la \mathbb {B}

care asociază fiecare variabilă propozițională cu o valoare de adevăr [10] . $p$ $M(p)$

Scorul de negație este dat de tabelul: $\negp$

$p$	$\negp$
$0$	$unu$
$unu$	$0$

Valorile conectivelor logice duble (implicație), (disjuncție) și (conjuncție) sunt definite după cum urmează: $\sageata dreapta$ $\vee$ $\pană$

$p$	$q$	$p\rightarrow q$	$p\ pană q$	$p\vee q$
$0$	$0$	$unu$	$0$	$0$
$0$	$unu$	$unu$	$0$	$unu$
$unu$	$0$	$0$	$0$	$unu$
$unu$	$unu$	$unu$	$unu$	$unu$

Formule identice adevărate (tautologii)

O formulă este identic adevărată dacă este adevărată pentru orice valoare a variabilelor sale constitutive (adică pentru orice interpretare) [11] . Următoarele sunt câteva exemple binecunoscute de formule logice propoziționale identice adevărate:

legile lui de Morgan :

\neg (p\vee q)\leftrightarrow (\neg p\wedge \neg q)

;

\neg (p\wedge q)\leftrightarrow (\neg p\vee \neg q)

;

legea contrapoziției :

(p\rightarrow q)\leftrightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)

;

legi de absorbție :

p\vee (p\wedge q)\leftrightarrow p

;

p\wedge (p\vee q)\leftrightarrow p

;

legi de distributie :

p\wedge (q\vee r)\leftrightarrow (p\wedge q)\vee (p\wedge r)

;

p\vee (q\wedge r)\leftrightarrow (p\vee q)\wedge (p\vee r)

Vezi și

Note

↑ 1 2 3 4 5 6 Chupakhin, Brodsky, 1977 , p. 203-205.
↑ 1 2 Kondakov, 1971 , articol „Calcul propozițional”.
↑ NFE, 2010 .
↑ 1 2 3 Gerasimov, 2011 , p. 13.
↑ Voishvillo, Degtyarev, 2001 , p. 91-94.
↑ Ershov Yu. L. , Paliutin E. A. Logica matematică. - M. , Nauka , 1979. - p. 24
↑ Edelman, 1975 , p. 130.
↑ Edelman, 1975 , p. 128.
↑ Igoshin, 2008 , p. 32.
↑ 1 2 Gerasimov, 2011 , p. 17-19.
↑ Gerasimov, 2011 , p. 19.

Literatură

Kondakov N. I. Dicționar logic / Gorsky D. P. - M . : Nauka, 1971. - 656 p.
Edelman S. L. Logica matematică. - M . : Şcoala superioară, 1975. - 176 p.
Chupakhin I. Ya., Brodsky IN Logica formală. - Leningrad: Editura Universității din Leningrad , 1977. - 357 p.
Voishvillo E. K. , Degtyarev M. G. Logic. - M. : VLADOS-PRESS, 2001. - 528 p. — ISBN 5-305-00001-7 .
Igoshin VI Logica matematică și teoria algoritmilor. - Ed. a II-a, stereotip .. - M . : Centrul editorial „Academia”, 2008. - 448 p. - ISBN 978-5-7695-4593-1 .
A. S. Karpenko. Logica propozițională // New Philosophical Encyclopedia : în 4 volume / prev. științific-ed. sfatul lui V. S. Stepin . — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - M . : Gândirea , 2010. - 2816 p.
Gerasimov AS Curs de logica matematica si teoria computabilitatii . - Sankt Petersburg. : Editura „LEMA”, 2011. - 284 p. - ISBN 978-5-98709-292-7 .

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online) Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	GND : 4136098-9 NKC : ph127455

Logici

Filosofie • Semantică • Sintaxă • Istorie

Grupuri logice

logica clasica	logica aristotelică Logica propozițională Logica de ordinul întâi Logica de ordinul doi logica de ordin superior
logica matematica	teoria multimilor Teoria modelului Teoria computabilității Teoria dovezilor și matematică constructivă Logica liniară sistem formal concluzie firească Calcul de secvență Algebra logicii Logica relevanta Logica deontică logica intuiționistă calculul Lambek
Logica non-clasica	intuitionism logica fuzzy Logica substructurala logica Logica descrierii Logica cu mai multe valori Sinteza logica Logica obligatorie Logica temporală Logica modală ( logica hibridă ) logica epistemică
Logica filozofică	Gândire critică logica informala motiv dedus

Componente

Lista simbolurilor booleene