Logica matematica

Logica matematică ( logica teoretică [1] , logica simbolică [2] ) este o ramură a matematicii care studiază notația matematică , sistemele formale , demonstrabilitatea judecăților matematice , natura demonstrației matematice în general, calculabilitatea și alte aspecte ale fundamentelor matematicii [3] .

În sens mai larg, este considerată ca o ramură matematicizată a logicii formale [4]  - „ logică după subiect, matematică prin metodă ” [5] , „ logică dezvoltată cu ajutorul metodelor matematice ” [6] .

Istorie

Primele încercări de a matematiza operațiile logice au fost făcute la începutul secolelor XIII-XIV de către Raymond Lull , care a proiectat o „mașină logică” specială pentru mecanizarea procesului de inferență logică, pe care a descris-o în tratatul său „Ars Magna” („ Marea Artă"). Mașina lui era formată din șapte cercuri concentrice pe care erau marcați termeni și litere. Pentru a obține combinații, Lull a folosit două cercuri concentrice împărțite în sectoare prin linii radiale. Rotind cercul interior, a primit un tabel cu diverse combinații. Desigur, această încercare a fost imperfectă, dar a jucat un rol în dezvoltarea ulterioară a ideii de matematizare a inferențelor logice.

Prima lucrare despre logica formală care a ajuns până la noi este Prima analiză  a lui Aristotel 384-322 î.Hr.). Se ocupă de elementele de bază ale silogisticii  - regulile pentru derivarea unor enunțuri din altele. Deci din afirmațiile „Toți oamenii sunt muritori” și „Socrate este un om” putem concluziona că „Socrate este muritor”. Cu toate acestea, în practică, un astfel de raționament este extrem de rar.

Problema creării logicii simbolice ca limbaj științific universal a fost luată în considerare de Leibniz în 1666 în lucrarea sa Arta combinatoriei ( De arte combinatoria ). S-a gândit să scrie declarații într-o limbă specială, pentru ca apoi să poată calcula adevărul altora conform legilor logice. La mijlocul secolului al XIX-lea au apărut primele lucrări de algebrizare a logicii aristotelice, care au stat la baza fundamentală a calculului propozițional ( Buhl , de Morgan , Schroeder ). În 1847, J. Boole a publicat The Mathematical Analysis of Logic, iar în 1854, An Investigation of the Laws of Thought, An Investigation of the Laws of Thought. În ele, Boole a conturat bazele algebrei sale logice, în care a aplicat simbolismul algebric pentru a înregistra operațiile logice și concluziile logice. Algebra booleană a logicii sub formă de calcul de clasă a fost primul sistem de logică matematică. Principalul rezultat al algebrei booleene este că acum nu se limitează la aplicarea simbolismului la logică, ci construiesc calcule logice speciale; legile logice apar în algebra logicii ca element necesar al sistemelor formalizate; fiecare judecată este privită ca o declarație despre egalitatea claselor; procesul de raţionament se reduce la rezolvarea egalităţilor logice. Cu toate acestea, după cum a remarcat Jevons , operația de scădere în această algebră a logicii nu a fost în întregime convenabilă și uneori a dus la neînțelegeri. Algebra logicii lui Boole a fost îmbunătățită de W. S. Jevons și E. Schroeder. Jevons însuși în cartea sa „Logica pură” a criticat matematizarea excesivă, algebrele booleene ale logicii și și-a propus teoria bazată pe principiul substituției, adică înlocuirea egalilor cu egali.

În 1877, Schröder a publicat o carte despre logica matematică, Der Operationskreis des Logikkalkuls, în care a stabilit sistematic bazele logicii matematice. O mare contribuție la dezvoltarea logicii matematice a fost adusă de astronomul, logicianul și matematicianul rus, profesor al Universității din Kazan P. S. Poretsky . Rezumând realizările lui Boole, Jevons și Schroeder, pe baza a mulți ani de cercetări independente, a creat o lucrare semnificativă „Despre metodele de rezolvare a egalităților logice și despre metoda inversă a logicii matematice”, în care a avansat semnificativ dezvoltarea a aparatului algebrei logicii. Lucrările lui P. S. Poretsky depășesc nu numai lucrările colegilor săi - contemporani, ci și în ceea ce privește algebra logicii, depășesc secțiunile corespunzătoare ale lui Whitehead și Russell. PS Porețki a fost primul din Rusia care a început să țină prelegeri despre logica matematică. Logica matematică, a spus el, „în materie este logica, dar în metoda ei este un matematician”. El a văzut sarcina logicii matematice în „construirea unei teorii a inferenței”, dar, în același timp, a determinat cu precizie legătura și granița dintre matematică și logica matematică. "Dacă formele studiate de algebră sunt cantitative", a scris el, "atunci, dimpotrivă, acele forme cu care se ocupă logica sunt calitative, adică esențial diferite de prima. Această diferență între cele mai apropiate obiecte de studiu ale algebrei și logica face imposibilă transferul direct, adică aplicarea directă a principiilor și tehnicilor algebrei la subiectul logicii.Totuși, adaptarea acestor tehnici (cu păstrarea deplină a acurateței lor) la studiul formelor calitative este destul de marea contribuție a lui P. S. Poretsky la logica matematică a fost teoria completă a formelor calitative pe care a propus-o El a dezvoltat teoria egalităților logice, a propus cea mai generală și exhaustivă metodă de găsire a tuturor formelor echivalente de premise, a tuturor consecințelor acestora, a tuturor celor mai simple premise necompuse în care se poate descompune un sistem de premise.

În lucrările lui Frege și Peirce (sfârșitul anilor 1870 - începutul anilor 1880), variabilele obiect , cuantificatorii au fost introduse în logică și, prin urmare, a fost fondat calculul predicatului . În 1879, în cartea sa The Calculus of Concepts, Frege și-a prezentat teoria calculului propozițional, care a devenit prima ramură a logicii matematice moderne. În ea, Frege a prezentat prima construcție axiomatică a logicii propoziționale , a introdus conceptul de cuantificator în logica matematică, pe care Peirce îl introduce apoi în viața de zi cu zi a științei logice. Frege a introdus, de asemenea, conceptul de valoare de adevăr, propus pentru a distinge între proprietăți și relații ca valori, respectiv, ale funcțiilor propoziționale un loc și, respectiv, mai multe locuri . Dar ideile lui Frege nu și-au găsit imediat susținători, iar calculul propozițional s-a dezvoltat, după cum notează A. Church, pe baza unui punct de vedere mai vechi, așa cum se poate observa în lucrările lui Peirce, Schroeder și alții.

La sfârșitul anilor 1880, Dedekind și Peano au aplicat aceste instrumente în încercarea de a axiomatiza aritmetica, în timp ce Peano a creat un sistem convenabil de notație care a devenit înrădăcinat în logica matematică modernă. El a introdus simboluri în logica matematică: ∈ este un semn de apartenență la o mulțime, ⊂ este un semn de includere, ⋃ este un semn de unire, ∩ este un semn de intersecție a mulțimilor; a dezvoltat un sistem de axiome pentru aritmetica numerelor naturale . Dar cel mai important, Peano, folosind calculul simbolic inventat de el, a încercat să exploreze conceptele matematice de bază, care a fost primul pas în aplicarea practică a logicii matematice la studiul fundamentelor matematicii. În Formulaire de Mathematiques (1895-1905), în cinci volume, Peano a arătat cum, cu ajutorul calculului simbolic, disciplinele matematice pot fi construite axiomatic.

Whitehead și Russell scriu Principia Mathematica în 1910-1913 . Această lucrare a contribuit semnificativ la dezvoltarea logicii matematice pe calea axiomatizării și formalizării ulterioare a calculului propozițional, a claselor și a predicatelor. B. Russell și A. Whitehead au văzut calea de ieșire din criza în care s-a aflat matematica în legătură cu descoperirea paradoxurilor în teoria mulțimilor în reducerea tuturor matematicii pure la logică . Acesta a fost conceptul de logicism . În acest scop, au construit un sistem logico-matematic formalizat în care, potrivit lor, pot fi dovedite toate propozițiile semnificativ adevărate. Dar curând a devenit clar că încercarea lui B. Russell și A. Whitehead de a reduce întreaga matematică pură la logică nu a fost încununată cu succes. În 1930-1931 , K. Godel a stabilit că nu numai sistemul dezvoltat de B. Russell și A. Whitehead, ci și orice sistem de matematică formalizată este incomplet, adică nu pot fi dovedite în el toate propozițiile cu adevărat adevărate.

Conceptul de intuiționism și logica intuiționistă și -au introdus calea de ieșire din criza matematicii și dezvoltarea ulterioară a logicii ( Brauer , 1908 ). Matematica, spuneau ei, este construcții matematice. Un obiect matematic există dacă se știe cum să-l construiască. Matematicianul se ocupă de lumea obiectelor mentale, dintre care unele pot fi create doar în limita pentru o succesiune nelimitată de pași, fără sfârșit și în proces de devenire constantă. Din punctul de vedere al intuiționismului, conceptul de infinit actual, existent, la care au aderat reprezentanții conceptului teoretic al matematicii, este eronat. Prin urmare, logica intuiționistă investighează doar obiectele constructive; existența unor astfel de obiecte este considerată dovedită dacă și numai dacă este indicată modalitatea finală de construire a acestora. Această logică neagă aplicabilitatea legii mijlocului exclus în operațiile cu mulțimi infinite. Logica constructivă care a apărut mai târziu a perceput critic conținutul obiectiv al logicii intuiționiste și nu a acceptat fundamentele sale filozofice și metodologice.

Un rol major în dezvoltarea logicii matematice l-a jucat lucrarea lui Hilbert și W. Ackerman „The Main Features of Theoretical Logic” (1928), publicată în Rusia în limba rusă sub titlul „Fundamentals of Theoretical Logic” în 1947, în care a fost creat un program pentru fundamentarea matematicii prin formalizare axiomatică folosind mijloace strict limitate care să nu conducă la contradicții. În munca lor, ei au vorbit despre nou în logica matematică: „Legăturile logice care există între judecăți , concepte etc.”, au scris ei, „își găsesc expresia în formule, a căror interpretare este lipsită de ambiguități care ar putea apărea cu ușurință. cu exprimare verbală. Trecerea la consecințele logice, care are loc prin inferență , este descompusă în ultimele sale elemente și este prezentată ca o transformare formală a formulelor originale după reguli cunoscute, care sunt similare cu regulile de numărare din algebră; gândirea logică este afișată în calculul logic. Acest calcul face posibilă acoperirea cu succes a problemelor în fața cărora gândirea logică pur semnificativă este fundamental neputincioasă. Hilbert s-a opus intuiționismului. El a obiectat asupra faptului că intuiţioniştii au negat legea terţului exclus în operaţiile cu mulţimi. „Interzicerea teoremelor existenței și legea mijlocului exclus  ”, a scris el, „echivalează cu o respingere completă a științei matematice”. În metoda sa de formalizare, Hilbert a propus să transforme toată matematica într-un set de formule în care elementele sunt conectate folosind semne logice. Fundamentul construcției matematicii se bazează pe anumite formule specifice, care se numesc axiome. Ca astfel de axiome, Hilbert a luat axiomele calculului propozițional al logicii matematice, axiomele matematice ale egalității și axiomele numărului, din care a obținut axiome noi, derivabile, cu ajutorul regulilor de inferență. Concluzia a fost obținută numai pe baza formei simbolurilor și semnelor, în spatele cărora nu exista conținut. Teoria formalizată în structura sa nu mai era un sistem de propoziții cu sens, ci un sistem de simboluri, considerate ca o succesiune de termeni. Principala cerință pe care Hilbert și-a făcut-o atunci când a definit conceptul de „existență” unui obiect matematic a fost să dovedească consistența acestuia. Dacă într-un sistem sau altul se dovedește că A și nu-A sunt derivate în el, atunci un astfel de sistem trebuie respins. Hilbert și școala sa au încercat să justifice matematica doar axiomatic, fără a trece dincolo de logică și matematică.

În anii treizeci și patruzeci ai secolului XX, începe dezvoltarea metalogicii , al cărei subiect este studiul sistemului de prevederi și concepte ale logicii matematice în sine, care determină limitele acestei logici, studiază teoria dovezii. Principalele secțiuni ale metalogicii sunt sinteza logică și semantica logică , studiul semnificațiilor expresiilor limbajului, interpretările calculelor logice. Cercetarea metalogică se concentrează pe analiza diferitelor proprietăți ale limbajelor formalizate, care au stat mai târziu la baza mașinilor electronice pentru automatizarea inferențelor științifice. În domeniul semanticii logice, lucrările lui A. Tarski „Despre conceptul de adevăr și limbaje formalizate” din 1933, precum și lucrările lui R. Carnap „Studii de semantică” din 1942-1947 sunt recunoscute drept cele mai semnificative. . De asemenea, importante în dezvoltarea logicii matematice au fost lucrările din domeniul logicii cu mai multe valori, în care afirmațiilor li se atribuie orice set finit sau infinit de valori de adevăr. Primul astfel de sistem de logică propozițională cu trei valori a fost dezvoltat și propus de J. Lukasevich . În 1954, J. Lukasevici a propus un sistem de logică cu patru valori, iar apoi logica cu valori infinite. Probleme de logică cu multe valori au fost, de asemenea, tratate de matematicieni și logicieni cunoscuți precum E. Post , S. Yaskovsky , D. Webb, A. Geyting , A. N. Kolmogorov , D. A. Bochvar, V. I. Shestakov , H. Reichenbach , S K. Kleene și alții. Una dintre cele mai mari tendințe în logica matematică a devenit teoria demonstrațiilor matematice , care a apărut din aplicarea calculului logic la întrebările despre fundamentele matematicii. A apărut din algebra logicii secolului al XIX-lea, al cărei studiu era obiectele finite. Teoria demonstrațiilor matematice se ocupă în principal de problema infinitului. Una dintre principalele sarcini ale logicii matematice utilizate în matematica calculului este problema stabilirii consistenței, adică se consideră că calculul este consecvent dacă este imposibil să se obțină formula A împreună cu formula Ā (nu-A). ) în ea. Cu ajutorul metodei de formalizare a demonstrației, logica matematică a ajutat matematica să rezolve problemele de demonstrabilitate și consistență în teoriile axiomatice. Avantajul logicii matematice este că aparatul simbolic pe care îl folosește face posibilă exprimarea strictă a celor mai complexe raționamente, concepte pentru prelucrarea algoritmică de către sistemele informatice.

Bazele

Logica matematică, ca și logica tradițională, este formală în sensul că face abstractie de la sens și judecă relațiile, relațiile și tranzițiile de la o propoziție (enunț) la alta și concluzia rezultată din aceste propoziții nu pe baza conținutului lor, ci numai pe baza conținutului lor. pe baza formei succesiunii de propoziţii.

Utilizarea metodelor matematice în logică devine posibilă atunci când judecățile sunt formulate într-un limbaj exact. Astfel de limbaje precise au două laturi: sintaxă și semantică. Sintaxa este un set de reguli pentru construirea obiectelor limbaj (numite de obicei formule). Semantica este un set de convenții care descriu înțelegerea noastră a formulelor (sau a unora dintre ele) și ne permit să considerăm că unele formule sunt adevărate și altele nu.

Un rol important în logica matematică îl joacă conceptele de teorie deductivă și calcul . Un calcul este un set de reguli de inferență care fac posibilă considerarea anumitor formule drept derivate. Regulile de inferență sunt împărțite în două clase. Unele dintre ele califică în mod direct anumite formule drept derivabile. Astfel de reguli de inferență se numesc axiome. Altele ne permit să considerăm formule derivabile care sunt legate sintactic într-un mod predeterminat de seturi finite de formule derivabile. O regulă utilizată pe scară largă de al doilea tip este regula modus ponens: dacă formulele și sunt derivabile , atunci formula este și ea derivabilă .

Relația dintre calcul și semantică este exprimată în termeni de adecvare semantică și de completitudine semantică a calculului. Se spune că un calcul este potrivit din punct de vedere semantic pentru o limbă dacă orice formulă derivată din limbă este adevărată. În mod similar, se spune că un calcul este complet din punct de vedere semantic într-o limbă dacă orice formulă de limbaj validă poate fi derivată în .

Multe dintre limbile luate în considerare în logica matematică au calcule complete și utile din punct de vedere semantic. În special, rezultatul lui Kurt Gödel este cunoscut că calculul predicatului clasic este complet semantic și potrivit din punct de vedere semantic pentru limbajul logicii predicatelor clasice de ordinul întâi ( teorema completității lui Gödel ). Pe de altă parte, există multe limbi pentru care construirea unui calcul semantic complet și adecvat din punct de vedere semantic este imposibilă. În acest domeniu, rezultatul clasic este teorema de incompletitudine a lui Gödel , care afirmă imposibilitatea unui calcul semantic complet și utilizabil semantic pentru limbajul aritmeticii formale.

În practică, multe operații logice elementare sunt o parte obligatorie a setului de instrucțiuni al tuturor microprocesoarelor moderne și, în consecință, sunt incluse în limbajele de programare . Aceasta este una dintre cele mai importante aplicații practice ale metodelor logicii matematice studiate în manualele moderne de informatică.

Secțiuni

În Clasificarea Subiectelor Matematice, logica matematică este combinată într-o secțiune de nivel superior cu bazele matematicii , în care sunt evidențiate următoarele secțiuni: [7]

• logica generala ( ing.  logica generala ), include logica clasica de ordinul intai , logica de ordin superior ( logica de ordinul doi ), logica combinatorie , λ-calcul , logica temporala , logica modala , logica multivalorica , logica fuzzy , logica in informatica ;
• teoria modelului ;
• teoria computabilității și teoria recursiunii ;
• teoria multimilor ;
• teoria dovezilor și matematică constructivă ;
• logica algebrică (include studiul algebrelor booleene , algebrelor Heyting , logicii cuantice , algebrelor cilindrice și poliadice , algebrelor post );
• modele non-standard.

Note

1. ↑ Hilbert, Ackerman, 1947 , p. 5.
2. ↑ Brodsky, 1972 , p. 3.
3. ↑ logica matematică: definiția logicii matematice în dicționarul Oxford (engleza americană) . Consultat la 7 februarie 2014. Arhivat din original pe 23 februarie 2014. (nedefinit)
4. ↑ N. I. Kondakov, Dicționar logic-carte de referință , M .: „Nauka”, 1975, p. 259.
5. ↑ Conform definiției primului autor de lucrări despre logica matematică în limba rusă, Platon Poretsky
6. ↑ S. K. Kleene, Logica matematică , M., 1973, p.12.
7. ↑ MSC2020-Sistem de clasificare a subiectelor de matematică . Preluat la 22 mai 2021. Arhivat din original la 14 iulie 2020. (nedefinit)

Literatură

• Gilbert D. , Ackerman V. Fundamentele logicii teoretice. - Editura de Stat de Literatură Străină , 1947. - 306 p.
• Slupetsky E. , Borkovsky L. Elemente de logică matematică și teoria mulțimilor = Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. —M.:Progres, 1965. — 368 p.
• Styazhkin NI Formarea logicii matematice. — M .: Nauka , 1967. — 508 p.
• Stoll R. R. Seturi. Logice. teorii axiomatice. - Iluminismul , 1968. - 232 p.
• Brodsky IN Introducere elementară în logica simbolică. - Editura Universității din Leningrad, 1972. - 63 p.
• Klini S.K. Logica matematică. — M .: Mir , 1973. — 480 p.
• Novikov PS Elemente de logică matematică. - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
• Shenfield J. Logica matematică. —M.: Nauka, 1975. — 400 p.
• Markov A. A. Elemente de logică matematică / Ed. A. G. Dragalina. - M. : editura Universității de Stat din Moscova, 1984. - 79 p. - 5660 de exemplare.
• A. S. Karpenko . Logica simbolică  // New Philosophical Encyclopedia  : în 4 volume  / prev. științific-ed. sfatul lui V. S. Stepin . — Ed. a II-a, corectată. si suplimentare - M .  : Gândirea , 2010. - 2816 p.

În rețelele sociale	Stare de nervozitate
Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online) Ucraina modernă
În cataloagele bibliografice BNE : XX525820 BNF : 11965690r GND : 4037951-6 J9U : 987007293932405171 LCCN : sh85003435 LNB : 000048118 NDL : 00565709 NKC : ph126346 , ph122671