Polinoame Bernoulli

Polinoame Bernoulli - o succesiune de polinoame care apare în studiul multor funcții speciale , în special funcția Riemann ζ și funcția Hurwitz ζ ; un caz special al secvenței Appel . Spre deosebire de polinoamele ortogonale , polinoamele Bernoulli sunt notabile prin faptul că numărul de rădăcini dintr-un interval nu crește odată cu gradul polinomului. Cu o creștere nelimitată a gradului, polinoamele Bernoulli abordează funcțiile trigonometrice . $\ [0,1]$

Numit după Jacob Bernoulli .

Definiții

Polinoamele Bernoulli pot fi definite în diferite moduri, în funcție de comoditate. $\ B_{n}(x)$

Atribuire explicită:

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}B_{nk}x^{k)

,

unde sunt coeficienți binomi , sunt numere Bernoulli sau: $C_{n}^{k}$ ${\ displaystyle \ B_ {k)}$

B_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1 )^{k}C_{m}^{k}(x+k)^{n}.

Funcția generatoare pentru polinoamele Bernoulli este:

{\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^ {n}}{n!}}.

Se pot reprezenta polinoamele Bernoulli printr-un operator diferenţial:

B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}

, unde este operatorul de diferențiere formală .

D

Primele polinoame Bernoulli sunt:

B_{0}(x)=1,

B_{1}(x)=x-{\frac {1}{2)),

B_{2}(x)=x^{2}-x+{\frac {1}{6)),

B_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,

B_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30)),

B_{5}(x)=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{ \frac {1}{6}}x,

B_{6}(x)=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x ^{2}+{\frac {1}{42}}.

Proprietăți

Valorile inițiale ale polinoamelor Bernoulli la sunt egale cu numerele Bernoulli corespunzătoare : $\x=0$

\ B_{n}(0)=B_{n)

.

Derivata functiei generatoare:

te^{tx}{\frac {1}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x )}{n!}}t^{n}

.

Partea stângă diferă de funcția generatoare doar prin factorul , prin urmare: $\t$

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B'_{n}(x)}{n!)}}t^{n}=\sum _{n=0} ^ {\infty }{\frac {B_{n}(x)}{n!}}t^{n+1}

.

Compararea coeficienților la aceleași puteri : $\t$

{\frac {B'_{n}(x)}{n!}}={\frac {B_{n-1}(x)}{(n-1)!)}}

,

Unde:

\ B'_{n}(x)=nB_{n-1}(x)

.

(Funcțiile care satisfac această proprietate se numesc secvență Appel ).

Din ultima egalitate urmează regula de integrare a polinoamelor Bernoulli:

\ B_{n}(x)=B_{n}+n\int _{0}^{x}B_{n-1}(t)\,dt

.

Proprietatea echilibrului este, de asemenea, utilă:

\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0

(la )

n>0

Teorema de multiplicare a argumentului: dacă este un număr natural arbitrar , atunci: $m$

\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(mx){\frac {t^{n}}{n!)}}={\frac {te^{mxt}} { e^{t}-1))={\frac {1}{m}}e^{mxt}{\frac {mt(1+e^{t}+\cdots +e^{(m-1) ) t})}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m-1}{\frac {e^{\left( x+ {\frac {s}{m}}\right)mt}mt}{e^{mt}-1}}={\frac {1}{m}}\sum _{s=0}^{m - 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}\left(x+{\frac {s}{m}}\right)m^{n}}{n! } }t^{n}.

Expansiunile construite implică teorema înmulțirii argumentelor:

B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{s=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {s}{m)} \dreapta)

.

Simetrie:

\ B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),

\ (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}.

Link -uri

Milton Abramowitz și Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formule, Graphs, and Mathematical Tables , (1972) Dover, New York.