Diferențierea formală

Diferențierea formală este o operație asupra elementelor unui inel de polinoame sau a unui inel de serie de puteri formale , repetă luând o derivată din analiza matematică , dar nu se bazează pe conceptul de limită , care nu poate fi definită pentru un inel arbitrar . Multe proprietăți ale derivatei sunt adevărate și pentru diferențierea formală, dar unele, în special cele referitoare la enunțuri care implică numere, nu sunt adevărate. Una dintre aplicațiile importante ale diferențierii formale în algebră este verificarea multiplicității rădăcinilor polinoamelor.

Definiție

Definiția diferențierii formale este următoarea: fixează un inel (nu neapărat comutativ), fie un inel polinomial peste . Atunci diferențierea formală este o acțiune asupra elementelor , în care dacă $R$ $A=R[x]$ $R$ $A$

f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},

atunci derivata formală este

f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +2a_{2}x+a_{1)

ca în cazul polinoamelor peste numere reale sau complexe.

Rețineți că expresia nu înseamnă înmulțire în inel, ci acolo unde nu este folosită sub semnul sumei. $na_{n}$ $\sum _{k=1}^{n}a_{n},$ $k$

Trebuie remarcat faptul că pentru inelele necomutative această definiție întâmpină următoarea dificultate: formula în sine este corectă, dar nu orice polinom poate fi reprezentat în forma standard. Utilizarea unei astfel de definiții duce la dificultăți în demonstrarea formulei . $(f(x)\cdot b)'=f'(x)\cdot b$

Definiții alternative potrivite pentru inele necomutative

Fie adevărat , fie Definiți și derivata pentru expresiile de tip și $r\în R$ $r'=0,$ $x'=1.$ $(a+b)'=a'+b',$ $(a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.$

Să demonstrăm că o astfel de definiție va da același rezultat pentru expresie, indiferent de modul în care se obține, prin urmare, definiția este compatibilă cu axiomele egalității.

$(a+b)'=a'+b'=b'+a'=(b+a)',$
$((a+b)+c)'=(a+b)'+c'=(a'+b')+c'=a'+(b'+c')=a'+( b+c)'=(a+(b+c))',$
$(a(bc))'=a'(bc)+a(bc)'=a'bc+a(b'c+bc')=a'bc+ab'c+abc'=$

=(a'b+ab')c+(ab)c'=(ab)'c+(ab)c'=((ab)c)',

$((a+b)c)'=(a+b)'c+(a+b)c'=(a'+b')c+(a+b)c'=(a'c+b) 'c)+(ac'+bc')=$

=\cdots =(a'c+(b'c+ac'))+bc'=(a'c+(ac'+b'c))+bc'=\cdots =(a'c+ac ')+(b'c+bc')=

=(ac)'+(bc)'=(ac+bc)'.

Liniaritatea rezultă din definiție.

Formula pentru derivata unui polinom (în forma standard pentru inele comutative) este o consecință a definiției: $(\sum _{i}a_{i}x^{i})'=\sum _{i}(a_{i}x^{i})'=\sum _{i}((a_ {i})'x^{i}+a_{i}(x^{i})')=\sum _{i}(0x^{i}+a_{i}(\sum _{j=1 }^{i}x^{j-1}(x')x^{ij}))=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i -unu}.$

Proprietăți

Se pot dovedi un număr dintre următoarele afirmații.

Diferențierea formală este liniară: pentru oricare două polinoame și elemente din $f(x),g(x)$ $r,s$ $R$

(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).

Dacă nu sunt comutative, există un alt tip de proprietate de liniaritate în care și sunt situate în dreapta. Dacă nu există niciun element de identitate în formulă, atunci formula nu se reduce la forma sumei polinoamelor sau a sumei unui polinom și a unui multiplu al altui polinom.

R

r

s

R

Pentru diferențierea formală, regula produsului este îndeplinită :

(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).

Rețineți importanța ordinii factorilor în cazul unui inel necomutativ .

R

Cele două proprietăți date o fac o derivare a unei algebre . $D$ $A$

Aplicație

Derivatul vă permite să determinați prezența rădăcinilor multiple: dacă este un câmp, atunci este un inel euclidian , pentru care poate fi definit conceptul de multiplicitate rădăcină; pentru un polinom și un element de acolo există un întreg nenegativ și un polinom astfel încât $R$ $R[x]$ $f(x)$ $r$ $R$ $Domnul}$ $g(x)$

f(x)=(xr)^{m_{r}}g(x),

unde nu este la fel . Gradul arată multiplicitatea ca rădăcină . Din regula produsului rezultă că este și numărul de aplicații ale operației de diferențiere care poate fi efectuată până când încetează să mai fie rădăcina polinomului rămas. În ciuda faptului că nu orice polinom de grad în are rădăcini, luând în considerare multiplicitatea (acesta este doar numărul maxim), puteți continua să extindeți câmpul în care această afirmație este adevărată (vezi închiderea algebrică ). După trecerea la extensia câmpului, pot exista și rădăcini multiple care nu sunt rădăcini peste . De exemplu, dacă este un câmp cu trei elemente, atunci polinomul $g(r)$ $0$ $Domnul}$ $r$ $f$ $Domnul}$ $f(x)$ $r$ $n$ $R[x]$ $n$ $R$ $R$

f(x)\,=\,x^{6}+1

nu are rădăcini în ; dar derivata formală este zero, deoarece 3 = 0 în și în orice extensie a lui , deci la trecerea la închiderea algebrică, vom găsi o rădăcină multiplă care nu poate fi găsită în . Prin urmare, notiunea de multiplicitate, definita prin diferentiere formala, poate fi verificata efectiv. Acest lucru se dovedește a fi deosebit de important în teoria Galois , permițând să se facă distincția între extensiile de câmp separabile și inseparabile. $R$ $R$ $R$ $R$

Corespondența derivată analitică

Dacă inelul numerelor este comutativ, atunci există o altă definiție echivalentă a unei derivate formale, care amintește de definiția din analiză. Un element al inelului este un divizor pentru orice număr întreg nenegativ și, prin urmare, este un divizor pentru orice polinom . Să notăm câtul (în ) ca : $R$ $YX$ $R[X,Y]$ $Y^{n}-X^{n}$ $n$ $f(Y)-f(X)$ $f$ $R[X,Y]$ $g$

g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{YX)),

atunci este ușor de demonstrat că (în ) coincide cu definiția formală a derivatei dată mai sus. $g(X,X)$ $R[X]$ $f$

O astfel de definiție a derivatei este potrivită pentru serii de puteri formale în ipoteza că inelul scalar este comutativ.

Note

Lang, Serge (2002), Algebra, Texte pentru absolvenți în matematică, 211 (Ed. a treia revizuită), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4 , MR 1878556, Zbl 0984.00001
Michael Livshits, Ai putea simplifica calculul, arXiv:0905.3611v1