Modelul sistemului axiome
Un model de sistem de axiome este orice obiect matematic care corespunde unui sistem de axiome dat . Adevărul unui sistem de axiome poate fi dovedit doar prin construirea unui model în cadrul unui alt sistem de axiome, care este considerat „adevărat”. În plus, modelul vă permite să demonstrați vizual unele dintre caracteristicile acestei teorii axiomatice .
Despre teoriile axiomatice
O teorie axiomatică se construiește astfel: sunt introduse mai multe obiecte de bază (în planimetrie , acestea sunt un punct , o dreaptă , un plan , „aparține”, „este între” și mișcare ). Aceste obiecte nu primesc definiții , dar sunt postulate o serie de axiome , care explică proprietățile acestor obiecte.
Teoria axiomatică nu spune în mod explicit dacă există puncte, drepte și planuri. Prin urmare, sunt posibile două opțiuni:
- Din sistemul de axiome vor fi deduse două afirmații opuse. Un astfel de sistem se numește inconsecvent - asta înseamnă că punctele, liniile și planurile nu există, ceea ce înseamnă că nici planimetria nu există.
- Se vor construi unele construcții matematice (de exemplu, bazate pe aritmetică ), în cadrul căreia vor fi definite „puncte”, „linii” și „plan”. Acesta va fi modelul planimetriei. Construcția modelului confirmă faptul că sistemul de axiome este consistent.
(de fapt, al doilea este valabil pentru planimetrie, vezi mai jos.)
Exemple
Un model de logică formală în cadrul algebrei booleene
- „Variabilele” sunt variabile booleene din setul {0,1}.
- Semnele și sunt operațiile de algebră booleană corespunzătoare.
Prin substituirea tuturor A, B, C posibile în axiome, ne asigurăm că toate axiomele sunt valabile în acest model. Adevărul modus ponens este testat în același mod .
Model de planimetrie în cadrul aritmeticii
„Punctul” este o pereche de numere reale .
"Linie" - toate punctele pentru care , unde și nu sunt egale cu 0 în același timp.
„Avion” - toate perechile posibile de numere reale .
Modelul geometriei lui Lobachevsky în termeni de planimetrie
Cel mai interesant model al geometriei Lobachevsky este modelul Poincaré. „Plan” este interiorul unui cerc , un „punct” este un punct, iar „dreaptă” este o linie dreaptă sau un arc perpendicular pe cerc. Unghiurile sunt considerate ca în geometria lui Euclid.
Sensul fizic al modelului este următorul. Lăsați viteza luminii într-o „lume” rotundă să se schimbe de la c în centru la zero la margini conform legii (ceea ce înseamnă că indicele de refracție va fi 1 în centru și la margini). Apoi lumina se va deplasa de-a lungul arcurilor perpendiculare pe graniță, dar nu va ajunge la graniță într-un timp finit. Pentru locuitori, această „lume” va părea nesfârșită și vor lua geometria lui Lobaciovski pe credință.
