Functie modulara

O funcție modulară este o funcție meromorfă definită pe semiplanul complex superior (adică pe mulțimea ), care este invariantă la transformările grupului modular sau ale unora dintre subgrupurile sale și satisface condițiile holomorfiei în puncte parabolice. Funcțiile modulare și formele modulare care le generalizează sunt utilizate pe scară largă în teoria numerelor , precum și în topologia algebrică și teoria corzilor . ${\mathbb {H}}=\{x+iy\mid y>0;x,y\in {\mathbb {R}}\}$

Formal, o funcție modulară este o funcție meromorfă care satisface condiția:

f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=f(z)

pentru fiecare matrice:

\left({\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}}\right)

aparţinând grupului modular . $PSL(2,\mathbb{Z} )$

Formă modulară

O formă de greutate modulară pentru un grup este o funcție holomorfă care satisface condiția: $k$ $\Gamma _{{0}}(N)$ $f\coloan H\rightarrow C$

f(g\tau )=(c\tau +d)^{{k}}f(\tau )

pentru orice și

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{{0}}(N)

\tau \în H

și holomorf în toate punctele parabolice [1] [2] .

Fie semiplanul complex superior: . Grupul de matrice pentru un număr natural este definit ca: $H$ $H=\left\{z\in C\mid {\mathop {{\mathrm {Im))))(z)>0\right\}$ $\Gamma _{{0}}(N)$ $N$

\Gamma _{{0}}(N)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in SL_{{2}}\;{\Big \vert }\; c\equiv 0{\pmod N}\right\}

Grupul acţionează asupra cu ajutorul transformărilor liniar-fracţionale unde şi . [3] $\Gamma _{{0}}(N)$ $H$ $g\tau ={\frac {a\tau +b}{c\tau +d)),$ $g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma _{{0}}(N)$ $\tau \în H$

Proprietățile formelor modulare

Formele modulare de greutate impară sunt egale cu zero. Forma modulară a greutății este (la ) seria Eisenstein : $2k$ $k>1$

G_{{2k))(\tau )=\sum _{{(m,n)\in {\mathbb {Z))^{2}\backslash (0,0))){\frac {1}{ (m+n\tau )^{{2k}}}}

unde . $z\in {\mathbb {H}}$

Lăsa

g_{2}=60\sum _{{(m,n)\neq (0,0)}}(m+n\tau )^{{-4}},\qquad g_{3}=140\sum _{{(m,n)\neq (0,0)}}(m+n\tau )^{{-6}}

— invarianți modulari; — discriminant modular. Prin definirea invariantului modular de bază ( j-invariant ) după cum urmează: $\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}$

j(\tau )=1728{g_{2}^{3} \over \Delta }

egalitățile sunt îndeplinite:

g_{2}(\tau +1)=g_{2}(\tau ),\;g_{2}(-\tau ^{{-1}})=\tau ^{4}g_{2}( \tau )

\Delta (\tau +1)=\Delta (\tau ),\;\Delta (-\tau ^{{-1}})=\tau ^{{12}}\Delta (\tau )

De asemenea, aceste funcții satisfac proprietățile corespunzătoare ale holomorfiei. Adică - o formă modulară de greutate 4, - o formă modulară de greutate 12. În consecință - o formă modulară de greutate 12 și - o funcție modulară. Aceste funcții au aplicații importante în teoria funcțiilor eliptice și a curbelor eliptice . $g_{2}$ $\Delta$ $g_{2}^{3}$ $j(z)$

Note

↑ Sarnak, 1998 , p. 7.
↑ Prasolov, 1997 , p. 194.
↑ Prasolov, 1997 , p. 187.

Literatură

Sarnak P. Forme modulare și aplicațiile lor. - M .: FAZIS, 1998. - ISBN 5-70364029-4 .
Tom M. Apostol. Funcții modulare și seria Dirichlet în teoria numerelor. - New York: Springer-Verlag, 1990. - ISBN 0-387-97127-0 .
Robert A. Rankin. Forme și funcții modulare. - Cambridge: Cambridge University Press, 1977. - ISBN 0-521-21212-X .
V.V. Prasolov, Yu.P. Solovyov. Funcții eliptice și ecuații algebrice. - Factorial, 1997. - 288 p. — ISBN 5-88688-018-6 .

Link -uri

JS Milne, Funcții modulare și forme modulare , curs curs.