Secvență monotonă

O secvență monotonă este o secvență ale cărei elemente nu descresc odată cu creșterea numărului sau, dimpotrivă, nu cresc. Astfel de secvențe se găsesc adesea în cercetare și au o serie de caracteristici distinctive și proprietăți suplimentare. O succesiune de un număr nu poate fi considerată ascendentă sau descendentă.

Definiții

Să existe o mulțime în care este introdusă relația de ordine . $X$

O secvență de elemente ale unei mulțimi se numește nedescrescătoare dacă fiecare element din această secvență nu îl depășește pe următorul. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- nescădere

\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant x_{n+1)

O secvență de elemente ale unei mulțimi se numește necrescător dacă fiecare element următor al acestei secvențe nu îl depășește pe cel anterior. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- necreste

\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant x_{n+1)

O secvență de elemente ale unei mulțimi se numește crescătoare dacă fiecare element următor al acestei secvențe îl depășește pe cel anterior. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- crescând

\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}<x_{n+1)

O succesiune de elemente ale unei mulțimi se numește descrescătoare dacă fiecare element din această secvență îl depășește pe următorul. $\{x_n\}$ $X$

\{x_n\}

- in scadere

\Leftrightarrow ~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}>x_{n+1)

O secvență se numește monotonă dacă este fie nedescrescătoare, fie necrescătoare. [unu]

O secvență este numită strict monotonă dacă este fie în creștere, fie în scădere.

Evident, o secvență strict monotonă este monotonă.

Uneori este folosită o variantă a terminologiei, în care termenul „secvență crescătoare” este considerat sinonim pentru termenul „secvență nedescrescătoare”, iar termenul „secvență descrescătoare” este considerat sinonim pentru termenul „secvență nedescrescătoare”. secvență crescătoare”. Într-un astfel de caz, secvențele crescătoare și descrescătoare din definiția de mai sus sunt numite „strict crescător” și, respectiv, „strict descrescătoare”.

Intervale de monotonitate

Se poate dovedi că condițiile de mai sus nu sunt îndeplinite pentru toate numerele , ci numai pentru numerele dintr-un anumit interval $n\în {\mathbb N}$

I=\{n\in {\mathbb N}\mid N_{{-}}\leqslant n<N_{{+}}\}

(aici limita dreaptă poate fi transformată la infinit). În acest caz, secvența este numită monotonă în intervalul , iar intervalul în sine este numit intervalul de monotonitate al secvenței. ${\displaystyle N_{+))$ $eu$ $eu$

Exemple

Sirul numerelor naturale .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=n$ .
- Segmente de pornire: . $(1,2,3,4,5,6,7,8,\cdots )$
- Secvență crescătoare.
- Constă din numere naturale.
- Limitat de jos, nu limitat de sus.

Sirul lui Fibonacci .
- $x_{n}={\begin{cases}1,&n=1\lor n=2\\x_{{n-1}}+x_{{n-2}},&n\geqslant 3\end{cases} }$
- Segmente de pornire: . $(1,1,2,3,5,8,13,21,\cdots )$
- Secvență nedescrescătoare.
- Constă din numere naturale.
- Limitat de jos, nu limitat de sus.

Progresie geometrică cu bază . $1/2$
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}={\frac {1}{2^{{n-1))))$ .
- Segmente de pornire: . $(1.1/2.1/4.1/8.1/16,\cdots )$
- Secvență descendentă.
- Constă din numere raționale .
- Limitat pe ambele părți.

O secvență care converge către numărul e .
- $\forall n\in \mathbb{N} \colon x_{n}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ .
- Segmente de pornire: . $(2,9/4,64/27,625/256,\cdots )$
- Secvență crescătoare.
- Constă din numere raționale , dar converge către un număr transcendental .
- Limitat pe ambele părți.

Secvența numerelor raționale a formei nu este monotonă. Cu toate acestea, este (strict) descrescătoare pe interval și (strict) crește pe intervalul . $x_{n}=\,\!(n-5)^{2}$ $\{1,\,\!2,3,4\}$ $\{n\in {\mathbb N}\mid n\geqslant 5\}$

Proprietăți

Prescripţie.
- Fiecare succesiune nedescrescătoare este mărginită de jos.
- Fiecare secvență care nu crește este mărginită de sus.
- Fiecare secvență monotonă este mărginită pe cel puțin o parte.

O secvență monotonă converge dacă și numai dacă este mărginită de ambele părți. ( Teorema secvenței monotone delimitate a lui Weierstrass )
- O secvență convergentă nedescrescătoare este mărginită de sus de limita sa .
- O secvență convergentă necrescătoare este mărginită de jos de limita sa.

Note

↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 3. Teoria limitelor // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 68 - 105. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .

Vezi și

Funcția monotonă