Inegalitatea lui Holder

Inegalitatea lui Hölder în analiza funcțională și disciplinele conexe este o proprietate fundamentală a spațiilor . $L^{p}$

Formulare

Fie un spațiu cu măsura , și să fie un spațiu de funcții de forma cu gradul --lea finit integrabil . Apoi seminorma este definită în acesta din urmă : $(X,\mathcal{F},\mu)$ $L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F)),\mu )$ $f:X \to \mathbb{R}$ $p$

\|f\|_{p}=\left(\;\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\;\right)^{{1/ p}}

unde , se presupune de obicei a fi un număr natural. $p\geq 1$

Să , și , unde . Apoi , și $f \in L^p$ $g\în L^{q}$ $p,q\geq 1,\;1/p+1/q=1$ $f\cdot g\in L^{1}$

\|f\cdot g\|_{1}\leq \|f\|_{p}\cdot \|g\|_{q}

Dovada

Să reformulăm inegalitatea lui Hölder exprimând normele în termenii integralelor corespunzătoare.
Fie un spațiu cu măsura , , măsurabil. Apoi: Pentru demonstrație, folosim următoarea afirmație ( inegalitatea lui Young ): $X$ $\mu$ $E\subset X$ $E$
$f\în L^{{p}},g\în L^{{q}},p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\ Săgeată la dreapta \int \limits _{E}|fg|\,d\mu <+\infty ,\;\int \limits _{E}\left|fg\right|\,d\mu \leq \left(\ int \limits _{E}|f|^{{p}}\,d\mu \right)^{{1/p}}\left(\int \limits _{E}|g|^{{q }}\,d\mu \right)^{{1/q}}$

$a,b\geq 0,p>1,{\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{q}}=1\Rightarrow a^{{1/p}}b^{{1 /q}}\leq {\dfrac {a}{p}}+{\dfrac {b}{q}}$

Sa punem
$a={\dfrac {|f(x)|^{{p}}}{\int \limits _{E}|f|^{{p}}d\mu }}\quad b={\dfrac { |g(x)|^{{q))}{\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu }}\quad I_{1}=\int \limits _{E }|f|^{{p}}d\mu >0\quad I_{2}=\int \limits _{E}|g|^{{q}}d\mu >0$

Aplicând inegalitatea, obținem:
$|f(x)g(x)|\leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {|f(x)|^ {{p}}}{p\cdot I_{1}}}+{\dfrac {|g(x)|^{{q}}}{q\cdot I_{2}}}\dreapta)$

Rețineți că partea dreaptă a inegalității este însumabilă peste o mulțime (prin urmare, urmează și însumabilitatea părții stângi). Integrând inegalitatea peste , obținem: inegalitatea lui Hölder este dovedită. Notă: Dacă sau este egal cu 0, atunci aceasta înseamnă că sau sunt echivalente cu zero pe , iar inegalitatea lui Hölder este în mod evident valabilă. $E$ $E$
$\int \limits _{E}|fg|\,d\mu \leq I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}\left({\dfrac {1 }{p}}+{\dfrac {1}{q}}\right)=I_{1}^{{1/p}}I_{2}^{{1/q}}$

$I_1$ $eu_{2}$ $f$ $g$ $E$

Cazuri speciale

Inegalitatea Cauci-Bunyakovsky

Setarea , obținem inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky pentru spațiu . $p=q=2$ $L^{2}$

Spațiu euclidian

Luați în considerare spațiul euclidian sau . -norma în acest spațiu are forma: $E={\mathbb {R}}^{n}$ $\mathbb{C}^n$ $L^{p}$

\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}} ,\;x=(x_{1},\ldots ,x_{n})^{{\top }}

și apoi

\sum \limits _{{i=1}}^{n}|x_{i}\cdot y_{i}|\leq \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}| x_{i}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{i=1}}^{n}|y_{i}|^{q }\right)^{{1/q}},\;\forall x,y\în E

Spațiu l p

Să fie o măsură numărabilă pe . Atunci setul tuturor secvențelor este astfel încât: $X={\mathbb {N)),\,{\mathcal {F}}=2^{({\mathbb {N)))),\,m$ $\mathbb {N}$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\|x\|_{p}=\sum _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}|^{p}<\infty

numit . Inegalitatea lui Hölder pentru acest spațiu are forma: $l^{p}$

\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}|x_{n}\cdot y_{n}|\leq \left(\sum \limits _{{n=1}}^{ {\infty }}|x_{n}|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left(\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }} |y_{n}|^{q}\right)^{{1/q}},\;\forall x\in l^{p},y\in l^{q}

Spațiu de probabilitate

Fie un spațiu de probabilitate . Apoi constă din variabile aleatoare cu un moment final : , unde simbolul denotă așteptarea matematică . Inegalitatea lui Hölder în acest caz are forma: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $L^{p}(\Omega,{\mathcal {F)),{\mathbb {P)))$ $p$ ${\mathbb {E}}\left[|X|^{p}\right]<\infty$ ${\mathbb {E}}$

{\mathbb {E}}|XY|\leq \left({\mathbb {E}}|X|^{p}\right)^{{1/p}}\cdot \left({\mathbb {E }}|Y|^{q}\right)^{{1/q}},\;\forall X\in L^{p},Y\in L^{q}

Vezi și

Literatură

Sobolev S.L. Câteva aplicații ale analizei funcționale în fizica matematică. — Ed. a III-a, revizuită și completată. — M .: Nauka , 1988. — 336 p. — ISBN 5-02-013756-1 .
Vulikh B.Z. Un scurt curs în teoria unei funcții a unei variabile reale. - Ed. a II-a, revizuită și completată. — M .: Nauka , 1973. — 352 p.