Instabilitate Rayleigh-Taylor

Instabilitatea Rayleigh-Taylor (numită după Lord Rayleigh și J. I. Taylor ) este o creștere spontană a perturbațiilor de presiune, densitate și viteză în medii gazoase și lichide cu o densitate neomogenă, situate într-un câmp gravitațional (Rayleigh, 1900) sau în mișcare cu accelerație (Taylor). , 1950).

Cazuri particulare de instabilitate Rayleigh-Taylor sunt instabilitatea limitelor mediilor cu densități diferite în timpul accelerației sub influența unei unde de șoc care trece ( instabilitatea Richtmyer-Meshkov ) și instabilitatea unei plasme situată într-un câmp gravitațional deasupra unui câmp magnetic . paralel cu limita sa ( instabilitatea Kruskal-Schwarzschild )

Cel mai simplu caz de instabilitate Rayleigh-Taylor este instabilitatea interfeței dintre lichide sau gaze cu densități diferite într-un câmp gravitațional, când un strat dintr-un mediu mai dens se află în echilibru instabil pe un strat al unuia mai puțin dens. Dacă în starea inițială planul interfeței este perpendicular pe vectorul gravitațional, atunci orice perturbare a interfeței va crește cu timpul, deoarece zonele unui mediu mai dens care se află deasupra interfeței încep să „se scufunde” într-un mediu mai puțin dens, iar secțiunile dintr-un mediu mai puțin dens care se dovedește a fi sub interfață, începe să „plutească” într-un mediu mai dens. O astfel de penetrare reciprocă duce la o scădere a energiei potențiale a sistemului, care atinge un minim atunci când straturile își schimbă complet locul, adică sistemul ajunge la un echilibru stabil.

Principalul parametru care determină rata de dezvoltare a acestei instabilități este numărul Atwood .

Descriere analitică

Problema de instabilitate Rayleigh-Taylor are o soluție analitică în cadrul teoriei stabilității liniare .

Fie două straturi orizontale plane extinse de lichid să fie situate în câmpul gravitațional unul deasupra celuilalt, iar lichidul mai greu 1 este în partea de sus (albastru în ilustrație), densitatea lichidelor . Limitele superioare și inferioare sunt solide. Pentru simplitate, este convenabil să folosiți modelul unui fluid incompresibil inviscid , apoi sistemul este descris de ecuația lui Euler : ${\vec {g}}$ $\rho _{1},\rho _{2}$

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\left({\vec {v))\cdot \nabla \right){\vec {v))=-{\frac {1}{\rho }}\nabla P+{\vec {g}},

\operatorname {div}{\vec {v}}=0.

În cele ce urmează, componentele vitezei sunt definite ca . Este destul de evident că soluția de echilibru ( ) satisface modelul, iar ecuația lui Euler pentru presiune dă următoarele: ${\vec {v}}=\left\{u,v,w\right\}$ ${\vec {v}}=0$

{\frac {\partial P}{\partial x))=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial y))=0,\quad {\frac {\partial P}{\partial z }}=-\rho g

Unde este determinată distribuția presiunii de echilibru (un rezultat binecunoscut pentru presiunea unei coloane de lichid):

P_{0}=-\rho gz.

Să introducem mici perturbări în starea de echilibru. Fie viteza atât de mică încât termenul neliniar din ecuația lui Euler poate fi neglijat, iar presiunea are forma , unde . Apoi obținem un sistem liniar de ecuații pentru perturbații mici (în continuare, cursa presiunii este omisă): $\vec{v}$ $\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}$ $P=P_{0}+P'$ $P'\ll P_{0}$

{\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))=-{\frac {1}{\rho ))\nabla P,

\operatorname {div}{\vec {v}}=0.

Condițiile la limită sunt stabilite pe baza egalității componentelor z ale vitezei lichidelor 1 și 2 la interfață și a prezenței tensiunii superficiale. La limitele superioare și inferioare, deoarece lichidul este ideal, funcționează condițiile de impermeabilitate. Este convenabil să luăm coordonatele interfeței în echilibru ca 0. Condiția cinematică este satisfăcută pe ea

\quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t))=w,

și starea dinamică

\left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =\sigma \Delta \zeta .

Condiția de impermeabilitate a limitelor superioare și inferioare:

z=\pm h:\quad w=0,

unde este abaterea limitei de la cea neperturbată, este coeficientul de tensiune superficială . Problema obținută pentru perturbații este ușor de rezolvat. $\zeta$ $\sigma$

Să presupunem că perturbațiile au forma:

{\vec {v)),P,\zeta \sim e^{{\lambda t}}e^{{i\left(k_{x}x+k_{y}y\right))),

unde este rata de creștere (increment) a perturbației și sunt componentele vectorului de undă al perturbației de limită. $\lambda$ $k_{x},k_{y}$

Din ecuația lui Euler se exprimă : $w$

\lambda w=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial P}{\partial z)),

iar condiția de incompresibilitate dă ecuația Laplace pentru presiune. Ca rezultat, viteza curgerii poate fi exclusă din problemă. Ecuația liniară rămâne : $\operatorname {div}{\vec {v}}=0$

{\frac {\partial ^{2}P}{\partial z^{2}}}-k^{2}P=0,

cu condiții la limită:

z=0:\quad \left(P_{1}-P_{2}\right)-\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g\zeta =-\sigma k^ {2}\zeta ,

z=0:\quad {\frac {1}{\rho _{1}}}{\frac {\partial P_{1}}{\partial z}}-{\frac {1}{\rho _{ 2}}}{\frac {\partial P_{2}}{\partial z}}=0,

z=\pm h:\quad {\frac {\partial P}{\partial z}}=0.

Rezolvarea ecuației Laplace pentru presiune:

P_{1}=C_{1}\cosh k\stanga(hz\dreapta),

P_{2}=C_{2}\cosh k\left(h+z\dreapta).

Constantele sunt determinate din condiția cinematică. Condiția dinamică oferă relația dintre increment și modulul vectorului de undă $C_{1},C_{2}$

\lambda ^{2}={\frac {\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right)g-\sigma k^{2)){\rho _{1}+\rho _{2}}}k\tanh kh,

de unde urmează direct expresia pentru numărul de undă critică al perturbațiilor (la ): $\lambda=0$

k_{c}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{\sigma }}

Dacă lungimea de undă este mai mare decât cea critică, atunci perturbațiile limitei vor crește.

În cazul limitativ al straturilor infinit de adânci ( ), cea mai mare rată de creștere a perturbației este atinsă la numărul de undă $kh\gg 1$

k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{3\sigma }}

În straturi subțiri ( ): $kh\ll 1$

k_{m}^{2}=\left(\rho _{1}-\rho _{2}\right){\frac {g}{2\sigma }}

În natură

O manifestare izbitoare bine-cunoscută a instabilității Rayleigh-Taylor sunt norii vymiformi , precum și ciuperca nucleară și bulele ionosferice ecuatoriale .

Vezi și

Literatură

Labuntsov D. A., Yagov V. V. Mecanica sistemelor în două faze. // M.: Editura MPEI, 2000. - p. 143-146.
Vekshtein GE Fizica mediilor continue în probleme. // M.: Institutul de Cercetări Informatice, 2002. - p. 109-111.

Link -uri

http://www.astronet.ru/db/msg/1188634 Arhivat 25 noiembrie 2010 la Wayback Machine