Ecuația lui Euler

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 octombrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Ecuația lui Euler este una dintre ecuațiile de bază ale hidrodinamicii unui fluid ideal . Numit după L. Euler , care a primit această ecuație în 1752 (publicată în 1757 ). În esență, este ecuația mișcării fluidului. Încă nu se știe dacă există o soluție lină a ecuației lui Euler în cazul tridimensional, pornind de la un moment dat în timp. [unu]

Ecuația lui Euler clasică

Luați în considerare mișcarea unui fluid ideal . Să alocăm un volum V în interiorul acestuia . Conform celei de-a doua legi a lui Newton , accelerația centrului de masă al acestui volum este proporțională cu forța totală care acționează asupra acestuia. În cazul unui fluid ideal, această forță este redusă la presiunea fluidului care înconjoară volumul și, eventual, la influența câmpurilor de forțe externe . Să presupunem că acest câmp reprezintă forțele de inerție sau gravitație , astfel încât această forță este proporțională cu puterea câmpului și masa elementului de volum. Apoi

\int \limits _{V}\frac {d\mathbf {v} {dt)}\,dm=\int \limits _{V}\mathbf {g} \,dm-\oint \ limite _{S}p\,d\mathbf {S} ,

unde este suprafața volumului selectat, este intensitatea câmpului. Trecând, după formula Gauss-Ostrogradsky , de la integrala de suprafață la cea de volum și ținând cont de faptul că , unde este densitatea lichidului într-un punct dat, obținem: $\mathbf {S}$ ${\mathbf {g}}$ $dm=\rho \,dV$ $\rho$

\int \limits _{V}\rho \,{\frac {d\mathbf {v} {dt)}\,dV=\int \limits _{V}\rho \,\mathbf {g } \,dV-\int \limits _{V}\nabla p\,dV.

Din cauza arbitrarului volumului , integranții trebuie să fie egali în orice punct: $V$

\rho {\frac {d\mathbf {v} {dt)}=\rho \mathbf {g} -\nabla p.

Exprimând derivata totală în termeni de derivată convectivă și derivată parțială :

{\frac {d\mathbf {v} {dt)}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\ mathbf {v} ,

obținem ecuația lui Euler pentru mișcarea unui fluid ideal într-un câmp gravitațional :

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =\mathbf {g} - {\frac {1 }{\rho }}\nabla p,$

Unde

\rho \left(x,y,z,t\dreapta)

este densitatea lichidului,

p\stanga(x,y,z,t\dreapta)

este presiunea din lichid,

{\mathbf {v}}\left(x,y,z,t\dreapta)

este vectorul vitezei fluidului,

{\mathbf {g}}\left(x,y,z,t\dreapta)

este vectorul intensității câmpului de forță,

\nabla

este operatorul nabla pentru spațiul tridimensional .

Cazuri speciale

Flux unidimensional staționar

Pentru cazul unui flux unidimensional staționar de lichid sau gaz, ecuația Euler ia forma

v{\frac {dv}{dx}}=-{\frac {1}{\rho }}\cdot {\frac {dp}{dx}}.

În această formă, ecuația este adesea folosită pentru a rezolva diverse probleme aplicate în dinamica fluidelor și dinamica gazelor . În special, prin integrarea acestei ecuații la o densitate constantă a fluidului , se obține binecunoscuta ecuație Bernoulli pentru un fluid incompresibil: $X$ $\rho$

{\frac {\rho v^{2}}{2}}+p={\text{const}}.

Fluid incompresibil

Lasă . Folosind formula binecunoscută $\rho ={\text{const)}$

{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatorname {putrece} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v} ,

rescrie raportul în formă

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+{\frac {1}{2)}\operatorname {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \ operatorname {put} \mathbf {v} ]-\operatorname {grad} {\frac {p}{\rho )).

Luând rotorul și având în vedere că

\operatorname {putrezire} \operatorname {grad} \phi =0,

iar derivatele parțiale fac naveta , obținem asta

${\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {putrezire} \mathbf {v} =\operatorname {putrezire} [\mathbf {v} \operatorname {putrezire} \mathbf {v} ].$

Flux adiabatic

Dacă există o mișcare adiabatică a fluidului, atunci ecuația lui Euler poate fi rescrisă folosind funcția termică după cum urmează: $w$

dw=V\,dp+T\,ds=V\,dp

datorită faptului că într-un proces adiabatic entropia este constantă.

s

Prin urmare:

{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t))+\left(\mathbf {v\nabla} \right)\mathbf {v} =-\operatorname {grad} w.

Folosind relația cunoscută

{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} v^{2}=[\mathbf {v} \operatorname {putrece} \mathbf {v} ]+(\mathbf {v\nabla } )\mathbf {v}

iar aplicând operația rotorului la ecuația lui Euler, obținem reprezentarea dorită în formă

{\frac {\partial }{\partial t))\operatorname {putrezire} \mathbf {v} =\operatorname {putrezire} [\mathbf {v} \operatorname {putrezire} \mathbf {v} ].

Vezi și

Ecuații Lagrange
Ecuația lui Euler în forma Gromeka-Lamb
Ecuațiile mișcării unui fluid vâscos
Transformările conformale sunt o metodă de găsire a formei fluxurilor neviscide, soluții ale ecuației lui Euler.
Ecuația vortexului
Lista obiectelor numite după Leonhard Euler

Note

↑ Stuart, 2015 , p. 315.

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Hidrodinamică. - M. , 1986. - (" Fizica teoretică ", Volumul VI).
Falkovich G. Mecanica fluidelor (Un curs scurt pentru fizicieni) Cambridge University Press 2011
Stewart, Ian. Cele mai mari probleme de matematică. — M. : Alpina non-fiction, 2015. — 460 p. - ISBN 978-5-91671-318-3 .

Link -uri

Traducere în limba rusă a memoriului lui Euler, în care au fost publicate pentru prima dată ecuațiile de mișcare ale unui fluid ideal

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare