Numărul de undă

numărul de undă
$\ k$
Dimensiune	L −1
Unități
SI	m −1
GHS	cm −1
Note
scalar

Numărul de undă este raportul dintre 2 π radiani și lungimea de undă:

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda )),

- analog spațial al frecvenței unghiulare [1] .

Numărul de undă este asociat cu o altă mărime numită frecvență spațială - numărul de perioade de oscilații în spațiu pe unitatea de lungime [2] [3] . În spectroscopie, frecvența spațială este numită număr de undă și este de obicei măsurată în centimetri reciproci (cm −1 ).

Notatie uzuala [4] : . $k$

Definiție : numărul de undă k este rata de creștere a fazei undei φ de-a lungul coordonatei spațiale [5] :

k\equiv {\frac {d\varphi {dx}).

În cazul unidimensional, numărului de undă i se atribuie de obicei un semn minus dacă unda se propagă într-o direcție negativă (împotriva axei). În multidimensional, acesta este de obicei un sinonim pentru valoarea absolută a vectorului de undă sau a componentelor sale (mai multe numere de undă în funcție de numărul de axe de coordonate), poate fi și o proiecție a vectorului de undă pe o direcție specifică aleasă.

Deoarece în majoritatea cazurilor numărul de undă are sens doar atunci când este aplicat unei undă monocromatică (strict monocromatic, sau cel puțin aproape monocromatic), derivata din definiție poate fi înlocuită (pentru aceste cazuri cele mai frecvente) cu o expresie cu diferențe finite:

k\equiv {\frac {\Delta \varphi {\Delta x)).

Pe baza acestui lucru, puteți obține diferite formulări mai mult sau mai puțin convenabile [6] :

Numărul de undă este diferența de fază a undei (în radiani) în același moment în timp în puncte spațiale aflate la o distanță de o unitate de lungime (un metru).
Numărul de undă este numărul de perioade spațiale (cocoașe) ale undei la 2 π metri.
Numărul de undă este egal cu numărul de radiani ai unei unde pe un segment de 1 metru.

În spectroscopie , numărul de undă este adesea menționat pur și simplu drept inversul lungimii de undă (1/λ), de obicei măsurat în centimetri reciproci (cm -1 ). Această definiție diferă de cea obișnuită prin absența factorului 2 π .

Unitatea de măsură este rad · m −1 , dimensiunea fizică este m −1 (în sistemul CGS : cm −1 ).

Folosit în fizică , matematică [7] ( transformată Fourier ) și aplicații precum procesarea imaginilor .

Raporturi de bază

k\equiv {\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {2\pi \nu }{v_({\varphi }}}}={\frac {\omega }{v_{{\ varphi }}}},

Unde:

λ este lungimea de undă ,

\nu

(litera greacă „nu”) - frecvență ,

v

φ este viteza de fază a undei, ω este frecvența unghiulară .

Pentru o undă care călătorește monocromatică, se poate scrie:

\varphi =kx-\omega t

- pentru faza;

u(x,t)=const\cdot {\mathrm {cos}}(kx-\omega t+\varphi _{0})

- pentru valul propriu-zis;

u(x,t)=const\cdot e^{{i(kx-\omega t)}}

— pentru un val complex ; aici poate fi ascuns în ,

\varphi_{0}

const

pentru o undă staționară monocromatică:

u(x,t)=const\cdot \mathrm {cos} (k\cdot (x-x_{0}))\mathrm {cos} (\omega \cdot (t-t_{0})) .

Note

Numărul de undă este definit exact pentru o undă monocromatică. Numărul de undă se referă la unde de alt tip prin conceptul de spectru (adică prin transformate Fourier), adică o undă nemonocromatică conține în general componente monocromatice cu numere de undă diferite în proporții diferite; cu toate acestea, undele aproape monocromatice pot fi descrise aproximativ ca unde cu un anumit număr de undă (spectrul lor este concentrat în principal lângă o valoare a numărului de undă).

Uneori, de exemplu, în aproximarea cvasi-geometrică (cvasi-clasică) , se poate considera că numărul de undă (vectorul de undă) se schimbă lent în spațiu, adică unda nu este la fel de monocromatică, ci cvasimonocromatică. În acest caz, desigur, este mai bine să folosiți definiția numărului de undă (vector de undă) cu o derivată, mai degrabă decât cu diferențe finite.

De fapt, singurul caz semnificativ din punct de vedere fizic în care numărul de undă (vectorul de undă) se poate schimba cu x , chiar și relativ rapid, este cazul formalismului integral al căii . În acest caz, în teoria de a descrie valul, există valuri de o formă foarte specială:

u(x,t)=e^{i\int (kdx-\omega dt)},

pentru care cele menționate sunt destul de corecte și semnificative.

Numărul de undă în fizica cuantică

În fizica cuantică, este asociată cu componenta impulsului într-o direcție dată:

p_{x}=\hbar k_{x},

Unde

p x este componenta impulsului în direcția x (pentru un sistem unidimensional, impulsul total), k x este numărul de undă (o componentă a vectorului de undă ) în direcția x (pentru un sistem unidimensional, este pur și simplu un număr de undă), ħ este constanta Planck redusă (constanta Dirac ).

Deoarece constanta Planck este o constantă universală, putem face pur și simplu ħ = 1 alegând un sistem de unități.

p_{x}=k_{x},

adică, în fizica cuantică , conceptele de componentă a impulsului și număr de undă sunt în esență aceleași . Acesta poate fi considerat unul dintre principiile fundamentale ale mecanicii cuantice.

Același lucru se poate spune despre impulsul total și numărul de undă fără a indica direcția valorii absolute a vectorului de undă ):

p = \hbar k,

și în unități ħ = 1:

p=k

Într-un caz particular, pentru lumină în vid (și, în principiu, orice alte câmpuri fără masă; aproximativ, pentru particule ultrarelativiste), se mai poate scrie:

k={\frac {E}{\hbar c)),

Unde

E - energie , ħ este constanta Planck redusă (constanta Dirac ), c este viteza luminii în vid.

Numărul de undă în electrodinamică

Să scriem ecuația unei unde electromagnetice plane:

$\Delta \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {E} \over \partial t^{2}}$

$\Delta \mathbf {H} ={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2}\mathbf {H} \over \partial t^{2}}$

În formă de coordonate:

${\frac {\partial ^{2}E_{y}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} E_{y} \over \partial t^{2}}$ (unu)

${\frac {\partial ^{2}H_{z}}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial ^{2} H_{z} \over \partial t^{2}}$

Rezolvarea acestor ecuații va fi:

$E_{y}=E_{m}\cos(\omega t-kx)$ (2)

$H_{z}=H_{m}\cos(\omega t-kx)$

$\omega$ - frecvența undelor

$k$ - numărul de undă

$c$ este viteza luminii în vid

Înlocuiți ecuația (2) în (1) :

$E_{m}k^{2}\cos(\omega t-kx)={\frac {1}{c^{2}}}E_{m}\omega ^{2}\cos(\ omega t-kx)$

$k={\frac {\omega {c)}$ [opt]

Astfel, numărul de undă este numărul de vibrații pe metru.

Vezi și

vector val

Note

↑ Frecvența circulară este măsurată în radiani pe secundă, numărul de undă este măsurat în radiani pe metru
↑ Acestea sunt sinonime aproape complete, care diferă oarecum doar în preferințele tradiționale de utilizare în diferite domenii, astfel încât termenul de număr de undă este folosit în principal în fizică (totuși, împreună cu termenul de frecvență spațială ), în matematică și în diverse aplicații (cum ar fi procesarea imaginilor) de obicei termenul de frecvență spațială și chiar doar de frecvență este folosit pentru un concept similar . În plus, remarcăm că pentru termenul de frecvență spațială ( frecvență ) este adesea permisă o înțelegere multidimensională , adică este folosită și ca sinonim practic pentru termenul de vector de undă , în timp ce pentru termenul de număr de undă o astfel de utilizare este practic exclusă din motive evidente. motive. Cu toate acestea, componentele vectorului de undă pot fi numite numere de undă de-a lungul axelor de coordonate.
↑ Enciclopedie fizică. În 5 volume / Cap. ed. A. M. Prohorov. Ed. numara D. M. Alekseev, A. M. Baldin. - M .: Enciclopedia Sovietică + Marea Enciclopedie Rusă. — 1998.
↑ Altele sunt adesea folosite, de regulă, enunțate în mod explicit.
↑ În cazul unidimensional, alegerea coordonatei spațiale este lipsită de ambiguitate (până la reflectarea în oglindă), în cazul multidimensional, în mod implicit, coordonata x este aleasă astfel încât să coincidă cu direcția ratei maxime de creștere a fazei , adică perpendicular pe frontul de fază; în acest caz numărul de undă este valoarea absolută a vectorului de undă . În cele din urmă, uneori direcția x este dată în mod explicit și poate să nu coincidă cu cea tocmai menționată; atunci se vorbește de obicei despre numărul de undă în direcția x și se indică în mod explicit acest lucru în notația: . $k_{x}$
↑ Inclusiv formularea de la începutul articolului
↑ În matematică (și în multe aplicații) - în principal sub formă terminologică, frecvență spațială sau chiar doar frecvență .
↑ I.V. Savelyev „Cursul de fizică generală” Volumul II paragraful „Unda electromagnetică plană”