Nilradical

Radicalul nil al unui inel comutativ  este idealul format din toate elementele sale nilpotente .

Radicalul nilpotent este într-adevăr un ideal, deoarece suma a două elemente nilpotente este nilpotente (prin formula binomială a lui Newton ), la fel ca produsul dintre un element nilpotent și un element arbitrar. Radicalul zero poate fi, de asemenea, caracterizat ca intersecția tuturor idealurilor prime ale inelului.

Dacă  este un inel comutativ arbitrar, atunci inelul coeficient , prin radicalul său nil, nu conține elemente nilpotente.

Fiecare ideal maxim este simplu, astfel încât radicalul Jacobson  — intersecția tuturor idealurilor maxime — conține un radical zero. În cazul unui inel artinian, ele pur și simplu coincid, nilradicalul fiind descris ca un ideal nilpotent maxim . În general, dacă un nilradical este generat finit , atunci este nilpotent.

Generalizări necomutative

În cazul necomutativ, există trei moduri de a generaliza conceptul de nilradical. Radicalul inferior al unui inel necomutativ este definit ca intersecția tuturor idealurilor prime. Un nilradical superior  este ca un ideal generat de toate idealurile nilpotente. Radicalul Levitsky se află între ei ca mărime și este definit ca idealul maxim nilpotent local . Dacă inelul este Noetherian , toate cele trei definiții sunt aceleași.

Literatură

• Atiyah M., McDonald I. Introducere în algebra comutativă. - Presa factorială, 2003 - ISBN 5-88688-067-4 .
• Eisenbud, David , „Algebră comutativă cu o viziune către geometria algebrică”, Texte pentru absolvenți în matematică, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
• Lam, Tsit-Yuen (2001), A First Course in Noncommutative Rings (ed. a doua), Berlin, New York: Springer-Verlag, MR : 1838439 , ISBN 978-0-387-95325-0