Morfism zero

În teoria categoriilor, un morfism nul  este un morfism care generalizează proprietățile mapărilor liniare la zero .

Definiție

Fie C  o categorie și f  : X → Y  un morfism în C . f se numește morfism constant dacă pentru orice obiect W din C și orice g , h  : W → X , fg = fh . În consecință, f se numește morfism coconstant dacă, pentru orice obiect Z și orice g , h ∈ Mor C ( Y , Z ), gf = hf . Un morfism nul  este un morfism care este atât constant, cât și co-constant.

O categorie cu morfisme zero  este o categorie în care pentru oricare două obiecte A și B un morfism 0 AB  : A → B este fixat astfel încât pentru orice obiect X , Y , Z din C și orice morfisme f  : Y → Z , g  : X → Y următoarea diagramă este comutativă:

Atunci morfismele 0 XY sunt neapărat nule. Dacă C  este o categorie cu morfisme zero, atunci 0 XY sunt determinate în mod unic.

Exemple

• În categoria grupurilor (sau modulelor ), morfismul nul este homomorfismul f  : G → H care mapează toate elementele lui G la elementul neutru al lui H . obiectul nul din categoria grupurilor este grupul trivial 1 = {1}. Fiecare morfism nul trece prin 1 , adică f  : G → 1 → H .

• Mai general, fie C  o categorie cu obiect nul 0 . Apoi, pentru oricare două obiecte X și Y există o secvență unică de morfisme

• Dacă C  este o categorie preaditivă , atunci fiecare set de morfisme set Mor( X , Y ) este un grup abelian și are un element zero. Aceste elemente zero formează o familie de morfisme zero, făcând din C o categorie cu morfisme zero.

• Categoria multimilor nu are un obiect nul, ci are un obiect initial , multimea goala ∅. Singurele funcții coconstante din Set  sunt funcții de forma ∅ → X .

Literatură

• Sectiunea 1.7 din Pareigis, Bodo. Categorii și functori  (neopr.) . - Academic Press , 1970. - V. 39. - (Matematică pură și aplicată). — ISBN 978-0-12-545150-5 .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. Teoria categoriei  (nedefinită) . - Allen și Bacon, Inc. Boston, 1973. .