În matematică , o categorie de grupuri este o categorie a cărei clasă de obiect este formată din grupuri și ale cărei morfisme sunt homomorfisme de grupuri .
Luați în considerare doi functori uitutori din Grp :
M: Grp → Lun
U: Grp → Set
Aici M are două conjugate :
Aici I: Mon → Grp este un functor care trimite un monoid la un submonoid de elemente inversabile și K: Mon → Grp este un functor care trimite un monoid la grupul său Grothendieck .
Uitucul U: Grp → Mulțimea are o compoziție adjunctă dreaptă KF: Set → Mon → Grp , unde F este un functor liber .
Monomorfismele din Grp sunt exact homomorfisme injective , epimorfismele sunt exact homomorfisme surjective , iar izomorfismele sunt homomorfisme bijective.
Categoria Grp este completă și completă . Un produs în Grp este un produs direct al grupurilor, în timp ce un coprodus este un produs gratuit al grupurilor. Obiectul nul din Grp este un grup trivial.
Categoria grupurilor abeliene , Ab , este o subcategorie completă a Grp . Ab este o categorie abeliană , dar Grp nu este nici măcar o categorie aditivă , deoarece nu există o modalitate naturală de a defini suma a două homomorfisme.
Noțiunea de secvență exactă are sens și în Grp , iar unele rezultate din teoria categoriilor abeliene, cum ar fi 9-lema și 5-lema , rămân valabile în Grp . Pe de altă parte, lema șarpelui încetează să mai fie adevărată.