Spațiu omogen

Un spațiu omogen poate fi descris informal ca un spațiu în care toate punctele sunt aceleași , adică există o simetrie spațială care duce orice punct la altul. Definiția este destul de generală și are mai multe variante. Spațiul omogen include spații de geometrie clasică, cum ar fi spațiul euclidian , spațiul Lobachevsky , spațiul afin , spațiul proiectiv și altele.

Definiție

Un spațiu omogen este o mulțime X cu o acțiune tranzitivă distinsă a grupului G .

Elementele lui X se numesc puncte ale spațiului omogen.
Elementele lui G se numesc simetrii spațiale , iar grupul G însuși se numește grupul de mișcări sau grupul de bază al unui spațiu omogen.
Un subgrup care fixează un element se numește stabilizator . $H_{x}<G$ $x\în X$ $X$
Dacă o mulțime X este înzestrată cu o structură suplimentară, cum ar fi o metrică , o topologie sau o structură netedă , atunci acțiunea lui G este de obicei presupusă pentru a păstra acea structură. De exemplu, în cazul unei metrici, se presupune că acțiunea este izometrică . În mod similar, dacă X este o varietate netedă , atunci elementele grupului sunt difeomorfisme .

Proprietăți

Toți stabilizatorii sunt subgrupuri conjugate.
Un spațiu omogen cu un grup de bază G poate fi identificat cu seturile din stânga ale stabilizatorului H . În acest caz, acțiunea din stânga a lui G asupra ei însăși generează o acțiune asupra spațiului claset G/H .

Exemple

Spații metrice

Spațiu euclidian cu acțiune de grup de izometrie; stabilizatorul acestei acţiuni este grupul transformărilor ortogonale. $\mathbb {E} ^{n}$ $\mathrm {O} (n)$
Sferă standard cu următoarele acțiuni: ${\mathbb {S}}^{n}$
- Grupuri de transformări ortogonale ; stabilizatorul acestei acţiuni este izomorf grupului . $\mathrm {O} (n)$ $\mathrm {O} (n-1)$
- Grupuri - un grup ortogonal special; stabilizatorul acestei acţiuni este izomorf grupului . ${\mathrm {SO}}(n)$ $\mathrm {SO} (n-1)$
Spațiul Lobachevsky cu acțiunea grupului Lorentz .
Grassmannian : . $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (nr))$

Alte

Spațiu afin (pentru grupul afin , stabilizator punctual al grupului liniar complet ): . $\mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)$
Spații vectoriale topologice (în sens topologic).
Spațiu antidezitter : . $\mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)$

Variații și generalizări

Se spune că un spațiu metric este omogen punctual dacă maparea izometrică a submulților -punctual ale in poate fi extinsă la o izometrie $X$ $n$ $n$ $K\subset X$ $X$ $X$
Spațiile finit omogene, omogene numărabil, compact omogene și așa mai departe sunt definite în mod similar.
Spațiul cât dublu este câtul grupului de subgrup care acționează la dreapta și la stânga. $G/\!/H$ $G$ $H<G\time G$ $G$
Spațiile vectoriale preomogene sunt un spațiu vectorial V de dimensiuni finite cu o acțiune de grup algebrică G astfel încât să existe o orbită G care este deschisă în topologia Zariski (și deci densă). Un exemplu este grupul GL(1) care acționează în spațiu unidimensional . Ideea spațiilor vectoriale preomogene a fost propusă de Mikio Sato .

Vezi și

Omogenitatea spațiului

Literatură

L. D. Landau, E. M. Lifshits. Fizica teoretica. În 10 volume. - M . : „Nauka”, 1988. - T. 2. - ISBN 5-02-014420-7 .
Steve Weinberg . Gravitație și cosmologie (engleză) . - John Wiley and Sons, 1972.
John Milnor , James D. Stasheff. Clasele caracteristice . - Princeton University Press , 1974. - ISBN 0-691-08122-0 .
Takashi Koda. O introducere în geometria spațiilor omogene . - Universitatea Națională Kyungpook.
Menelaos Zikidis. Spații omogene . - Universitatea din Heidelberg.
Shoshichi Kobayashi , Katsumi Nomizu . capitolul X // Fundamentele geometriei diferenţiale . - Biblioteca Wiley Classics, 1969. - Vol. 2.