Calcul operațional

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 24 mai 2021; verificarea necesită 1 editare .

Calculul operațional este una dintre metodele de analiză matematică , care în unele cazuri permite rezolvarea unor probleme matematice complexe cu ajutorul mijloacelor simple.

Istorie

La mijlocul secolului al XIX-lea au apărut o serie de lucrări despre așa-numitul calcul simbolic și aplicarea acestuia la rezolvarea anumitor tipuri de ecuații diferențiale liniare . Esența calculului simbolic este că funcțiile operatorului de diferențiere sunt introduse în considerare și interpretate corect ( teoria operatorilor ). Dintre lucrările de calcul simbolic, merită remarcată monografia detaliată a profesorului-matematician Mihail Vașcenko-Zakharchenko , „Calcul simbolic și aplicarea sa la integrarea ecuațiilor diferențiale liniare” , publicată în 1862 la Kiev . Stabilește și rezolvă sarcinile principale ale metodei, care mai târziu a devenit cunoscută ca metodă operațională. $p={d\peste dt}$

În 1892, au apărut lucrările omului de știință englez Oliver Heaviside , dedicate aplicării metodei de calcul simbolic pentru rezolvarea problemelor din teoria propagării vibrațiilor electrice în fire. Spre deosebire de predecesorii săi, Heaviside a definit operatorul invers în mod unic, presupunând și numărând pentru . Lucrarea lui Heaviside a pus bazele aplicării sistematice a calculului simbolic sau operațional la rezolvarea problemelor fizice și tehnice. ${\frac {1}{p}}f(t)=\int \limits _{{0}}^{{t}}\!f(u)\,du$ $f(u)=0$ $u<0$

Cu toate acestea, calculul operațional dezvoltat pe scară largă în lucrările lui Heaviside nu a primit o justificare matematică, iar multe dintre rezultatele sale au rămas nedovedite. O justificare riguroasă a fost dată mult mai târziu, când s-a stabilit o legătură între transformata funcțională Laplace și operatorul de diferențiere Și anume, dacă există o derivată pentru care și există , atunci . ${\bar {f}}(p)=L\left[f(t)\right]=\int \limits _{{0}}^{\infty }\!e^{{-pt}}f( t)\,dt$ ${d\peste dt}.$ $f^{\prim }(t)$ $L\stânga[{df \over dt}\right]$ $f(0)=0$ $L\left[{df \over dt}\right]=p{\bar {f}}(p)$

În anii 1950, fundamentarea teoretică a calculului operațional a fost continuată de Jan Mikusinsky , ideile sale se disting printr-un aspect original și o abordare inovatoare, versiunea sa de calcul operațional a fost numită „calcul operațional conform lui Mikusinsky”. Această metodă poate fi aplicată pentru rezolvarea ecuațiilor diferențiale și se bazează pe utilizarea operației de convoluție folosind transformata Fourier .

Proprietăți imagine

Liniaritate

Originalul combinației liniare de caracteristici este egal cu combinația liniară de imagini cu aceiași coeficienți.

a\cdot f(t)+b\cdot g(t)\quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),

unde a și b sunt numere complexe arbitrare .

Teorema asemănării

f(la)\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{a}}F\left({\frac {p}{a}}\right),

unde a>0.

Diferențierea originalului

f(t)\quad \Rightarrow \quad F(p);

f'(t)\quad \Rightarrow \quad pF(p)-f(0);

f''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{2}F(p)-pf(0)-f'(0);

f'''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{3}F(p)-p^{2}f(0)-pf'(0)-f''(0);

...

f^{{(n)}}(t)\quad \Rightarrow \quad p^{n}F(p)-p^{{n-1}}f(0)-p^{{n-2} }f'(0)-p^{{n-3}}f''(0)-...-f^{{(n-1)}}(0).

Diferențierea imaginii

-tf(t)\quad \Rightarrow \quad F'(p).

Integrarea originalului

\int \limits _{0}^{t}f(t)dt\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{p}}F(p).

Integrarea imaginii

{\frac {f(t)}{t}}\quad \Rightarrow \quad \int \limits _{p}^{\infty}F(p)dp.

Teorema deplasării

e^{{at}}f(t)\quad \Rightarrow \quad F(pa).

Teorema întârzierii

f(t-\tau )\quad \Rightarrow \quad e^{{-p\tau }}F(p).

Teorema înmulțirii (convoluții)

\int \limits _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \quad \Rightarrow \quad F(p)\cdot G(p).

Imagini cu diverse funcții

Original	Imagine	Original	Imagine	Original	Imagine
$C$	${\frac {C}{p}}$	$t\cdot \sin ~\omega t$	${\frac {2p\omega {(p^{2}+\omega ^{2})^{2)))$	$t\cdot \operatorname {sh} ~\omega t$	${\frac {2p\omega {(p^{2}-\omega ^{2})^{2)))$
${\displaystyle e^{la))$	${\frac {1}{pa}}$	$t\cdot \cos~\omega t$	${\frac {p^{2}-\omega ^{2}}{(p^{2}+\omega ^{2})^{2)))$	$t\cdot \operatorname {ch} ~\omega t$	${\frac {p^{2}+\omega ^{2}}{(p^{2}-\omega ^{2})^{2)))$
$\sin ~\omega t$	${\frac {\omega {p^{2}+\omega ^{2)}}$	$\operatorname {sh} ~\omega t$	${\frac {\omega {p^{2}-\omega ^{2)}}$	$t^{n}$	${\frac {n!}{p^{n+1)}}$
$\cos ~\omega t$	${\frac {p}{p^{2}+\omega ^{2)})$	$\operatorname {ch} ~\omega t$	${\frac {p}{p^{2}-\omega ^{2)})$	$t^{a}$	${\frac {\Gamma (a+1)}{p^{a+1)}}$
$e^{at}\sin ~\omega t$	${\frac {\omega {(pa)^{2}+\omega ^{2)))$	$e^{at}\operatorname {sh} ~\omega t$	${\frac {\omega {(pa)^{2}-\omega ^{2)))$	$e^{at}t^{n}$	${\frac {n!}{(pa)^{n+1)}}$
$e^{at}\cos ~\omega t$	${\frac {pa}{(pa)^{2}+\omega ^{2)}}$	$e^{at}\operatorname {ch} ~\omega t$	${\frac {pa}{(pa)^{2}-\omega ^{2)}}$

Aplicarea metodelor operatorilor în electrotehnică

Provocare

Figura prezintă un circuit RL comutat . La un moment dat în timp t=0, cheia K se închide. Determinați dependența de timp a curentului din circuitul RL.

Decizia prin metoda tradițională

Conform celei de-a doua legi a lui Kirchhoff , circuitul este descris de următoarea ecuație diferențială:

U=iR+L{\frac {di}{dt}},

unde primul termen descrie căderea de tensiune pe rezistorul R, iar al doilea termen descrie căderea de tensiune pe inductorul L.

Facem o schimbare de variabilă și aducem ecuația la forma: $i=ab$

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Deoarece unul dintre factorii a, b poate fi ales în mod arbitrar, alegem b astfel încât expresia dintre paranteze să fie egală cu zero:

Rb+Lb'=0.

Separarea variabilelor:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L));\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b= e^{-{\frac {R}{L}}t}.

Ținând cont de valoarea aleasă a lui b, ecuația diferențială se reduce la forma

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{ L}};

Integrarea, obținem

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^ {{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Obținem expresia pentru curent

i=ab=\left({\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\dreapta)\cdot e^{-{\frac {R }{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

Valoarea constantei de integrare se găsește din condiția ca la momentul t=0 să nu existe curent în circuit:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

În sfârșit, obținem

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Rezolvare prin metoda operatorului

Găsiți imagini ale fiecăruia dintre termenii ecuației diferențiale:

i\Rightarrow I;\qquad U\Rightarrow {\frac {U}{p);\qquad iR\Rightarrow IR;\qquad L{\frac {di}{dt)}\Rightarrow L\left[pI -i(0)\right]=pLI.

[unu]

$U\Rightarrow {\frac {U}{p}}$ se obține deoarece modificarea lui U în timp este exprimată prin funcția U = H(t)U (întrerupătorul a fost închis la momentul t = 0), unde H(t) este funcția pas Heaviside (funcția unitate), ( H (t) = 0 la t < 0 și H(t) = 1 pentru t = 0 și t > 0, iar imaginea H(t) este 1/ p ).

Obținem următoarea imagine a ecuației diferențiale

{\frac {U}{p}}=RI+pLI=I(R+pL).

Din ultima expresie găsim imaginea curentului:

I={\frac {U}{p(R+pL))).

Astfel, soluția se reduce la găsirea curentului inițial din imaginea cunoscută. Să extindem partea dreaptă a ecuației în fracții elementare:

{\frac {U}{p(R+pL)}}={\frac {A}{p}}+{\frac {B}{R+pL}}={\frac {A(R +pL)+Bp}{p(R+pL)}}={\frac {AR+p(AL+B)}{p(R+pL))));

AR=U;\qquad A={\frac {U}{R));

AL+B=0;\qquad B=-AL=-{\frac {UL}{R));

I={\frac {U}{Rp}}-{\frac {UL}{R(R+pL)))={\frac {U}{Rp}}-{\frac {U}{} R({\frac {R}{L}}+p)}}={\frac {U}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{{ \frac {R}{L}}+p}}\dreapta).

Să găsim elementele originale ale ultimei expresii:

{\frac {1}{p}}\Leftarrow 1;\qquad {\frac {1}({\frac {R}{L}}+p}}\Leftarrow e^{-{\frac { R}{L}}t}.

În sfârșit, obținem

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Concluzie

Calculul operațional este extrem de convenabil în inginerie electrică pentru calcularea modurilor dinamice ale diferitelor circuite. Algoritmul de calcul este următorul.

1) Considerăm toate elementele circuitului ca rezistențe Z i , ale căror valori se găsesc pe baza imaginilor funcțiilor de tranziție ale elementelor corespunzătoare.

De exemplu, pentru un rezistor:

u=iR;\quad \Rightarrow \quad U=IR\quad \Rightarrow \quad Z_{R}=R.

Pentru inductanță:

u=L{\frac {di}{dt}}\quad \Rightarrow \quad U=IpL\quad \Rightarrow \quad Z_{L}=pL.

Pentru container:

u={\frac {1}{C}}\int idt\quad \Rightarrow \quad U={\frac {I}{pC}}\quad \Rightarrow \quad Z_{C}={\frac {1 buc}}.

2) Folosind valorile de rezistență indicate, găsim imagini ale curenților din circuit folosind metode standard de calcul a circuitelor utilizate în inginerie electrică.

3) Având imagini ale curenților din circuit, găsim originalele, care sunt soluția ecuațiilor diferențiale care descriu circuitul.

Aplicarea calculului operațional

Metodele operatorilor sunt utilizate în teoria circuitelor electrice , teoria controlului automat , teoria semnalelor și mecanica teoretică . Tranziția la imagini vă permite să treceți de la rezolvarea ecuațiilor diferențiale la cele algebrice. Calculul operațional vă permite să lucrați cu funcții discontinue , de exemplu , funcția foarfece , impuls, funcția delta și altele. Această caracteristică distinge calculul operațional de analiza matematică cu continuitatea și diferențierea sa în fiecare punct .

Note

Este interesant de observat că expresiile obţinute mai sus pentru rezistenţa operatorului diverselor elemente, până la transformare

p\rightarrow j\omega

coincid cu expresiile corespunzătoare pentru rezistențele din circuitele de curent alternativ:

Z_{R}=R;\qquad Z_{L}=j\omega L;\qquad Z_{C}={\frac {1}{j\omega C)).

Note

↑ În literatura străină, variabila complexă p este de obicei notă cu litera s .

Literatură

Sidorov Yu. V., Fedoryuk MV, Shabunin MI Prelegeri despre teoria funcțiilor unei variabile complexe. - 1989. - S. 479. - ISBN 5-02-013954-8 .
Transformarea Bracewell R. Hartley. - 1990. - S. 172.
Dech G. Transformarea Laplace . - 1971. - S. 288 .

Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Calcul operațional. - 1975. - S. 408.
Kontorovich MI Calcul operațional . - 1955. - S. 229 .
Martynenko V. S. Calcul operațional. - 1990. - S. 359.
Mikusinsky ian. Calcul operator . - 1956. - S. 363 .
Shostak R. Ya. Calcul operațional. - 1972. - S. 274.

Shtokalo I. Z. Calcul operațional. - 1972. - S. 304.

Eiderman V. Ya. Calcul operaţional . - " Fizmatlit ", 2002. - S. 256 . — ISBN 5-9221-0283-4 .

Panteleev A. V., Yakimova A. S. Teoria funcțiilor unei variabile complexe și calcul operațional în exemple și probleme : un tutorial. - „ Sunt. şcoală ”, 2001. - S. 445 . — ISBN 5-06-004135-2 .